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Stetig behebbare Definitionslücke & e-d-Kriterium

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Stetigkeit

Tags: Definitionslücke, epsilon delta Kriterium, epsilon-delta-kriterium, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen, Stetigkeit

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14:08 Uhr, 12.04.2020

Hallo zusammen,
hier mal eine etwas unorthodoxe Frage:
Gegeben ist die komplexe Funktion

z \mapsto f (z) = \frac{z^{2}}{∣ z ∣}

. Diese hat ja offensichtlich eine Definitionslücke bei

z = 0

.
In die Polarform umgewandelt:

z = ∣ z ∣ E (φ)

z^{2} = ∣ z ∣^{2} E (2 φ)

und

f (z) = ∣ z ∣ E (2 φ)

.
Die Abbildungszuordnung lautet also:

∣ z ∣ E (φ) \mapsto ∣ z ∣ E (2 φ)

.

Man kann die Definitionslücke bei

z = 0

, beheben, indem man definiert

f (0) = 0

, bzw.

\tilde{f} (z) :=

{f (z), z \in D_{f} ∖ {0}}

{0, z = 0}

(habe hier leider keine bessere Möglichkeit gefunden, die stetige Fortsetzung einzugeben)

Jetzt zu meiner Frage: in meinem Buch war schon vorgegeben, dass man

f (0) = 0

definieren soll.
Wenn es also nicht vorgegeben ist, wie kommt man also darauf (rechnerisch)? (Wie) Kann man bei

f (z)

und

\tilde{f} (z)

das

ε

δ

-Kriterium "anwenden"? (à la

f (z) = 2 i z

∣ f (z) - f (z_{0}) ∣ = ∣ (2 i z) - (2 i z_{0}) ∣ = ∣ 2 i (z - z_{0}) ∣ < δ ∣ 2 i ∣ = 2 δ < ɛ

= > δ < \frac{ɛ}{2}

= > ɛ > 2 δ

)

Wie ist die Herangehensweise, um Definitionslücken zu beheben? Bei den reellen Zahlen weiß ich's noch: Nullstellen und Definitionslücken ermitteln und miteinander vergleichen, wenn gleich, dann ist die Definitionslücke behebbar. Aber wie ist das im Komplexen?

Wie sieht das ganze bei der Funktion

z \mapsto f (z) = \frac{z}{∣ z ∣}

aus?
Anbei ist noch eine von mir erstellte Abbildung zur 1. Funktion mit dem "Bildkreisscheiben-Umgebungs-Gedöns"

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich
Grenzwerte an einer Stelle

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15:38 Uhr, 12.04.2020

Hallo,

in diesem konkreten Beispiel kannst du

∣ f (z) ∣

anschauen.
Es ist

lim_{z \to 0} ∣ f (z) ∣ =

lim ∣ z ∣ \cdot \frac{∣ z ∣}{∣ z ∣}

lim ∣ z ∣ = 0

.

Hieraus folgt, dass man mit

f (0) = 0

eine stetige Fortsetzung von

f

an der
Stelle

z = 0

erhält.

Gruß ermanus

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15:54 Uhr, 12.04.2020

Wegen

ε

δ

∣ f (z) - 0 ∣ = ∣ f (z) ∣ = ∣ z ∣ = ∣ z - 0 ∣

. Wähle also

δ = ε

. :-)

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16:30 Uhr, 12.04.2020

Wie kommst du denn auf

lim_{z \to 0} (∣ \frac{z^{2}}{∣ z ∣} ∣) = lim_{z \to 0} (∣ z ∣ \cdot \frac{∣ z ∣}{∣ z ∣})

?
Die erste Funktion lautet ja

f (z) = \frac{z^{2}}{∣ z ∣}

und du kannst ja im Komplexen nicht sagen, dass

∣ z ∣ ∣ z ∣ = z^{2}

ist. Das würde ja bedeuten, dass

x^{2} + y^{2} = x^{2} + 2 x y i - y^{2}

, was ja sicherlich nicht stimmt. Oder verstehe ich da etwas falsch?

Bei der zweiten Funktion müsste das dann ja heißen:

lim_{z \to 0} (∣ \frac{z}{∣ z ∣} ∣) = 1

. Heißt, dass das die Funktion mit

f (0) = 1

stetig fortgesetzt werden kann?

Wenn nein, wie ist bitte die allgemeine Herangehensweise an so etwas?

Zu

ε

δ

(1. Funktion):
Durch die Fortsetzung hat man ja praktisch die "normale" Betragsfunktion.
Also mit

ε

δ

∣ f (z) - f (z_{0}) ∣ = ∣ ∣ z ∣ - ∣ z_{0} ∣ ∣ \leq ∣ z - z_{0} ∣ < δ < ε

Also

δ < ε

und nicht

δ = ε

oder??

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16:59 Uhr, 12.04.2020

Hallo,

es ist doch wegen der Rechenregeln mit

∣ ∣

klar, dass

∣ z \frac{z}{∣ z ∣} ∣ = ∣ z ∣ \cdot \frac{1}{∣ z ∣} \cdot ∣ z ∣

ist.
Ich verstehe dein Problem gerade nicht ?!?
Der Limes von

\frac{z}{∣ z ∣}

für

z \to 0

existiert nicht.

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17:24 Uhr, 12.04.2020

Pardon, ich habe offenbar falsch geguckt, deine Umformung macht natürlich Sinn.
Nach dem Limes von

\frac{z}{∣ z ∣}

für

z \to 0

habe ich auch nie gefragt, bitte genau lesen ;-)
Außerdem würde ich mich freuen, wenn du (oder natürlich auch jemand anderes) noch meine anderen Fragen beantworten könntest, da diese nach wie vor offen sind.
Stichworte: allgemeine Herangehensweise,

ε

δ

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17:31 Uhr, 12.04.2020

"Nach dem Limes von

\frac{z}{∣ z ∣}

für z→0 habe ich auch nie gefragt, bitte genau lesen ;-)"
Und was ist das? :
"Bei der zweiten Funktion müsste das dann ja heißen:

lim_{z \to 0} (∣ \frac{z}{∣ z ∣} ∣) = 1

. Heißt, dass das die Funktion mit f(0)=1 stetig fortgesetzt werden kann?"

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17:35 Uhr, 12.04.2020

"Das" ist meine Frage nach dem Limes

d e s B e t r a g s

von

\frac{z}{∣ z ∣}

, nicht nach

\frac{z}{∣ z ∣}

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17:38 Uhr, 12.04.2020

Du kannst vom Limes des Betrages nicht auf den Limes der Funktion schließen,
außer im Falle

l i m ∣ f (z) ∣ = 0

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17:43 Uhr, 12.04.2020

Ich wollte nicht vom Limes des Betrags auf den Limes der Funktion schließen, ich habe nur versucht deinen Weg aus deiner 1. Antwort auf die zweite Funktion anzuwenden, in der Annahme, dass das dort auch funktioniert (tut es das?)

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17:45 Uhr, 12.04.2020

Es funktioniert nur - wie ich schon sagte -
im Falle lim=0:
Klar, wenn

∣ f (z) ∣ \to 0

, dann auch

f (z) \to 0

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18:27 Uhr, 12.04.2020

In Ordnung.
Ich schließe das Thema mal noch nicht, in der Hoffnung, dass meine noch offenen Fragen noch beantwortet werden.

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18:49 Uhr, 12.04.2020

Hallo,
im Komplexen ist es so, wie im Reellen, man bestimmt
den Limes der Funktion für

z \to z_{0}

, wenn die
Definitionslücke bei

z_{0}

ist. Diesen Limes kann man in manchen
Fällen vielleicht mit einem "Kochrezept" bestimmen, aber ganz
sicher gibt es unzählig viele Fälle, wo man sehr individuell,
phantasievoll und erfahrungsreich drangehen muss.
Es liegt nicht an meiner Unwilligkeit, dir hier Brauchbareres
zu sagen, sondern an der Sache.
Zum Glück ist Mathematik keine Rezeptsammlung, sondern eine
kreative Wissenschaft :-)
Gruß ermanus

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19:34 Uhr, 12.04.2020

Vielen Dank für deine klärenden Worte...
Könntest du mir das aber dann noch beispielhaft an der zweiten Funktion erklären.
Also ob diese "fortgesetzt werden kann" bzw. wie.

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19:38 Uhr, 12.04.2020

Meinst du mit der zweiten Funktion

f (x) = \frac{x}{∣ x ∣}

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19:44 Uhr, 12.04.2020

So ist es.

ermanus aktiv_icon

20:07 Uhr, 12.04.2020

Gehen wir erst mal "gefühlsmäßig" vor:
Da

∣ f (z) ∣ = 1

ist für alle

z \neq 0

, liegen die Werte der Funktion alle
auf dem Einheitskreis, wenn

z \neq 0

ist. Wenn also

z

gegen 0 geht,
ist kein Grund zu erkennen, warum der Limes einen bestimmten Punkt auf der
Kreislinie ansteuern soll, da alle Punkte "gleichberechtigt" zu sein scheinen.
Das lässt einen vermuten, dass es keinen solchen speziellen Punkt gibt, dass also
der Limes nicht existiert.
Nun müssen wir dies aber beweisen :(
Vermutlich hängt die Geschichte davon ab, aus welcher Richtung

z

gegen 0 läuft.
Gut, dann nehmen wir doch mal zwei Nullfolgen her, die aus unterschiedlichen
Richtungen sich der 0 nähern:

x_{n} = 1 / n

und

y_{n} = - 1 / n

.
Man berechne nun den

lim f (x_{n})

und

lim f (y_{n})

für

n \to \infty

.
Sind die beiden Limiten gleich?

ermanus aktiv_icon

12:40 Uhr, 16.04.2020

Hallo,

hast du denn mal die beiden Folgen durchgerechnet?

Gruß ermanus

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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