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Stetig partiell differenzierbare Funktionen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Stetigkeit

Tags: Differentiation, partielle Differenzierbarkeit, Stetigkeit

Bruno Math

21:51 Uhr, 07.06.2017

Hallo, kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

Sei

U \subset ℝ^{n}

offen und seien

f, g : U \to ℝ

stetig partiell differenzierbar. Zeigen Sie, dass

f + g : U \to ℝ, f \cdot g : U \to ℝ

und

\frac{f}{g} : U_{0} :=

{

u \in U : g (u) \neq 0

}

\to ℝ

stetig partiell differenzierbar sind.

Ich habe überhaupt keine Idee wie ich anfangen soll. Wahrscheinlich sind alle drei Behauptungen nahezu analog zu beweisen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

08:35 Uhr, 08.06.2017

Hallo,

partielle Ableitungen sind doch Ableitungen "nach einer Variablen". Deshalb gelten für die Ableitungen von Summen, Produkten, Quotienten die üblichen Regeln.

Diese Aussagen sind also eigentlich banal. Was Ihr dazu formulieren sollt, hängt von Eurer Definition der partiellen Ableitung ab - zum Beispiel als Richtungsableitung?

Gruß pwm

Bruno Math

18:07 Uhr, 09.06.2017

Also im Skript steht diese Behauptung weit vor der Richtungsableitung. Das heißt wir müssen den Satz mit folgenden Definitionen beweisen:

Sei U offene Teilmenge von

ℝ^{n}

und

f : U \to ℝ

eine reellwertige Funktion. Sei

x_{0} \in U

und

i \in

{

1, 2, . . ., n

}. Dann nennt man f im Punkt

x_{0}

partiell differenzierbar nach der i-ten Variablen, falls der Grenzwert

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h \cdot e_{i}) - f (x_{0})}{h} := \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x_{0})

existiert. Existieren alle n partiellen Ableitungen von f im Punkt

x_{0}

, so nennt man f im Punkt

x_{0}

partiell differenzierbar.
Man nennt f partiell differenzierbar, wenn f in allen Punkten

x_{0} \in U

partiell differenzierbar ist.
Man nennt f stetig partiell differenzierbar, wenn f partiell differenzierbar ist, und für alle

i = 1, . . ., n

die partiellen Ableitungen

\frac{\partial f}{x_{i}} : U \to ℝ

stetige Funktionen sind.

Auf der anderen Seite haben wir aber bereits bewiesen, dass die Komposition stetiger Funktionen stetig und die Komposition differenzierbarer Funktionen differenzierbar ist.

pwmeyer aktiv_icon

10:30 Uhr, 10.06.2017

Hallo,

dann musst Du halt den Beweis für Funktionen

f : U \subset ℝ \to ℝ

auf diese partiellen Ableitungen übertragen.

Gruß pwm

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