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Stetige Abbildung zwischen Topologien

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Fabienne- aktiv_icon

07:43 Uhr, 21.04.2016

Hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe.

Sei

f : X \to Y

eine Abbildung zwischen topologischen Räumen.

Zeigen Sie, wenn



eine offene Überdeckung von X ist, und

f_{∣ U}

stetig für alle

U \in 

, dann ist

f

stetig.

Alles was ich bisher probiert habe, hat irgendwie nicht funktioniert. Ich habe versucht zu zeigen, dass das Urbild jeder offenen Menge unter

f

offen ist.
Danach versucht zu zeigen, dass

f

punktweise stetig ist. Letzteres sollte gelten, weil jedes

x \in X

in einer offenen Umgebung liegt und ja auch

f_{U}

stetig ist für alle x, aber so einfach kann ich es mir wohl nicht machen, oder?

Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

09:49 Uhr, 21.04.2016

Hallo,

"Ich habe versucht zu zeigen, dass das Urbild jeder offenen Menge unter f offen ist."

was hat denn dort nicht geklappt?

Grüße
Sina

Fabienne- aktiv_icon

15:58 Uhr, 21.04.2016

Mittlerweile glaube ich, dass ich die Aufgabe gelöst habe, aber folgende bereitet mir nun noch mehr Schwierigkeiten:

Sind

A_{1}, \dot{s} o, A_{n} \subseteq X

abgeschlossene Teilmengen mit

⋃_{i = 1}^{n} A_{i} = X

und ist

f_{∣ A_{i}}

stetig für

i = 1, \dot{s} o, n

, so ist auch

f

stetig.

Soll ich hier auch am besten einfach zeigen, dass das Urbild einer offenen Menge offen ist?

PhantomV aktiv_icon

22:34 Uhr, 21.04.2016

Hi,

dir ist sicherlich bekannt wie offene Mengen mit abgeschlossenen Mengen zusammenhängen.
Am besten überlegst du dir warum eine Abbildung zwischen topologischen Räumen genau dann stetig ist,
wenn Urbilder abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind. Damit ist die Aufgabe dann
ziemlich trivial.

Gruß PhantomV

Fabienne- aktiv_icon

23:07 Uhr, 21.04.2016

Ah stimmt, wenn

A_{n}

eine abgeschlossene Menge ist, dann ist

A_{n}

eine Umgebung einer offenen Menge

U_{n}

mit

U_{n} \subseteq A_{n}

.

Und abgeschlossene und offene Mengen hängen so zusammen, dass

A_{n}

abgeschlossen, wenn

X \ A_{n}

offen, meinst du das?

PhantomV aktiv_icon

23:11 Uhr, 21.04.2016

Richtig. Damit kannst du jetzt die Aufgabe bestimmt lösen.

Fabienne- aktiv_icon

23:21 Uhr, 21.04.2016

Wie genau muss ich denn den Schritt auf die offenen Mengen

X \ A_{n}

machen?

Ich habe so angefangen:

Sei

A_{n}

eine abgeschlossene Menge, dann existiert eine offene Menge

U_{n} \subseteq A_{n}

. Also ist

A_{n}

eine Umgebung von

U_{n}

.

Sei

V \subseteq Y

eine beliebige offene Menge. Zeige, dass

f^{- 1} (V)

offen ist.

Wie kann ich hier nun die

A_{n}

einbringen?

PhantomV aktiv_icon

23:24 Uhr, 21.04.2016

Andere Frage. Wie hast du denn die erste gelöst mit der Vereinigung von offenen Mengen?

Fabienne- aktiv_icon

23:28 Uhr, 21.04.2016

Ich habe die a) so gemacht:

Sei

V \subseteq Y

offen und

x \in f^{- 1} (V)

f^{- 1} (V) = {x \in X : f (x) \in V}

. Also

f (x) \in V

und

V

ist Umgebung von

f (x)

.

Da

⋃_{U \in } U = X

, gibt es eine offene Menge

U_{x} ∋ x

. Da

f_{∣ U_{x}}

stetig, ist

f^{- 1} (U_{x})

offen.

Dann ist

f^{- 1} (V) = ⋃_{x \in f^{- 1} (V)} U_{x}

offen.

PhantomV aktiv_icon

23:37 Uhr, 21.04.2016

Dann versuche die zweite doch ähnlich. Nur diesmal nutzt du dass wenn

V

abgeschlossen ist
und

f

stetig dass dann ebenfalls

f^{- 1} (V)

abgeschlossen ist.

Fabienne- aktiv_icon

23:42 Uhr, 21.04.2016

Wie kann man dies denn zeigen, oder ist das eine trivialität. Denn beweisen haben wir das bisher nicht.

Edit: Ich habe die b) auch schon auf diese Weise versucht, aber kam nicht weiter, bzw. denke, dass es so nicht korrekt ist.

PhantomV aktiv_icon

23:44 Uhr, 21.04.2016

Vllt noch was zu deinem konkreten Beweis:

'' ... f^{- 1} (U_{x})

offen'' macht da etwas Probleme, denn es ist

U_{x} \subseteq X

und nicht von Y.

Fabienne- aktiv_icon

23:48 Uhr, 21.04.2016

Lässt sich das reparieren, oder ist bringt das den Beweis zum Fall?

Edit: Ich müsste einfach schreiben

f (U_{x}) \subseteq Y

...

PhantomV aktiv_icon

23:53 Uhr, 21.04.2016

Überleg mal evtl. bekommst dus noch hin...

Fabienne- aktiv_icon

23:55 Uhr, 21.04.2016

Also den Beweis von a) sollte ich einfach schreiben

f (U_{x}) \subset Y

.

Kannst du mir zu der b) vielleicht noch einen kleinen Tipp geben, oder wie der Anfang aussehen könnte? Dann versuche ich es selber zu lösen, aber bisher stehe ich irgendwie total auf dem Schlauch. :(

Ich sitze schon so lange an der Aufgabe und die Aussage kommt mir auch nicht schwer vor. Du sagst ja es ist fast trivial, aber der Begriff der Stetigkeit von topologischen Räumen bereitet mir noch Schwierigkeiten.

PhantomV aktiv_icon

00:00 Uhr, 22.04.2016

Wenn man das erste Mal damit in Berührung kommt es wohl eher nicht trivial.
Deine Aussage zu

a)

stimmt macht aber den Beweis nicht richtig oder wie folgt dann der Rest?
Einen Tipp zu

a)

überlege dir wie

f |_{U}^{- 1} (V)

mit

f^{- 1} (V)

zusammenhängt. Wenn du die

a)

richtig gelöst hast kannst du vermutlich auch die

b)

Fabienne- aktiv_icon

00:02 Uhr, 22.04.2016

Ah, also

f_{∣ U}^{- 1} (V) = U \cap f^{- 1} (V)

Weil

f_{∣ U}^{- 1}

offen ist, und

U

offen, muss auch

f^{- 1} (V)

offen sein.
So einfach?

PhantomV aktiv_icon

00:05 Uhr, 22.04.2016

Ganz so einfach ist es dann doch nicht ;-). Hinweis das was falsch ist, ist immer
wenn man nicht alle Voraussetzungen nutzt. Wo kommt denn die offene Überdeckung vor?
Deine erste Aussage stimmt, zweite nicht.

Fabienne- aktiv_icon

00:08 Uhr, 22.04.2016

Tut mir leid, wenn ich dich gerade aufhalte und du eigentlich schlafen möchtest. :(

Kann ich denn mit dieser "Eigenschaft" weiterarbeiten und muss es nur näher ausführen?
Also

f_{∣ U}^{- 1} (V) = U \cap f^{- 1} (V)

PhantomV aktiv_icon

00:16 Uhr, 22.04.2016

Mit der ersten Eigenschaft kannst du weiterarbeiten. Denn wegen

f |_{U}^{- 1} (V) = U \cap f^{- 1} (V)

und Stetigkeit von der Einschränkung

f |_{U}

ist für offenes

V

auch die rechte Menge der obigen
Gleichung offen. Nun weißt du dass die Vereinigung der Mengen

U

gerade

X

ist.
Also vereinigst du alle Mengen der Form

U \cap f^{- 1} (V)

wobei

U

aus der Überdeckung.
Vereinigung von bel. vielen offenen Mengen ist wieder offen. Nun überlege dir welche Menge du
erhältst.

Fabienne- aktiv_icon

00:26 Uhr, 22.04.2016

Ah, die Vereinigung von

⋃_{x \in f^{- 1} (V)} U_{x} \cap f^{- 1} (V) = f^{- 1} (V)

und damit als Vereinigung offener Mengen offen.

PhantomV aktiv_icon

00:42 Uhr, 22.04.2016

Richtig allerdings musst du gar nicht mit Elementen arbeiten,

d . h

. du musst kein

x

aus irgendeiner
Menge wählen. Die Mengen

U

überdecken doch dein

X

also vereinigst du über diese,

d . h

. über
alle

U

aus der offenen Vereinigung.

Leider wird bei mir die konkrete Überdeckung nicht angezeigt.
"Zeigen Sie, wenn ??? eine offene Überdeckung von

X

ist, und f∣U stetig für alle U∈???, dann ist

f

stetig."

Fabienne- aktiv_icon

00:45 Uhr, 22.04.2016

Oh, das war mir bisher gar nicht aufgefallen. Das Kästchen soll ein Skript-U sein. Mein "Code" \mathcal{U}, der anscheinend nicht erkannt wird.

Aber so wie ich es gemacht habe, ist es doch auch richtig, wenn auch vielleicth etwas umständlich, oder?

PhantomV aktiv_icon

00:55 Uhr, 22.04.2016

Wenn du es etwas umständlicher magst gehts natürlich auch so :-)

Fabienne- aktiv_icon

00:57 Uhr, 22.04.2016

In erster Linie mag ich Lösungen auf die ich letztendlich gekommen bin. :-)

Dann geht die b) nun ähnlich?
Soll ich hier mit den abgeschlossenen Mengen arbeiten, oder mit den offenen Mengen

X \ A_{i}

PhantomV aktiv_icon

01:07 Uhr, 22.04.2016

Du arbeitest mit abgeschlossenen Menge und zeigst dass das Urbild einer abgeschlossenen Menge
A nämlich

f^{- 1} (A)

wieder abgeschlossen ist.

Aus

f^{- 1} (A) = f^{- 1} (A) \cap X = f^{- 1} (A) \cap (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) = ⋃_{i = 1}^{n} (f^{- 1} (A) \cap A_{i}) =

⋃_{i = 1}^{n} (f |_{A_{i}}^{- 1} (A))

folgt die Behauptung (mache dir klar wieso falls nicht offensichtlich).

Fabienne- aktiv_icon

01:07 Uhr, 22.04.2016

Ich habe es jetzt erstmal so gemacht:

Sei

V \subseteq Y

abg. mit

f (x) \in V

. Da

A_{k}

abg., ist

X \ A_{k}

offen.
Wegen

⋃_{i = 1}^{n} A_{i} = X

existiert ein

A_{k}^{x} ∋ x

.

Dann ist

X \ A_{k}^{x}

offen und

x \notin X \ A_{k}^{x}

.

Damit gilt

⋃_{x \in f^{- 1} (V)} X \ A_{k}^{x} = X \ f^{- 1} (V)

offen.
Also

f^{- 1} (V)

abgeschlossen.

Somit ist das Urbild einer abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen.

Wie hilft mir das nun weiter?

PhantomV aktiv_icon

01:11 Uhr, 22.04.2016

Wenn Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind ist die Funktion stetig!

Fabienne- aktiv_icon

01:13 Uhr, 22.04.2016

Und warum?

Wir haben gesagt, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn das Urbild einer offenen Menge offen ist.
Folgt daraus, dass das Urbild einer abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist?

PhantomV aktiv_icon

01:16 Uhr, 22.04.2016

Ganz genau. Das solltest du dir eigentlich am Anfang auch überlegen. Beweis kannst du versuchen.
Ist ziemlich kurz und einfach. Nutze einfach deine bekannte Definition von Stetigkeit und
dass Komplemente von offenen Mengen abgeschlossen sind.

Fabienne- aktiv_icon

01:17 Uhr, 22.04.2016

In Ordnung. Vielen Dank für deine Hilfe. Das war am Ende ja doch ganz einfach. Mir war lange Zeit nicht klar, wie genau du es nun meinst.

Lieben Gruß :* <3

PhantomV aktiv_icon

01:18 Uhr, 22.04.2016

Freut mich wenn ich helfen konnte. Gute Nacht :-)

Fabienne- aktiv_icon

01:23 Uhr, 22.04.2016

Edit: Ich denke nun ist es mir gelungen, hatte einen kleinen Fehler gemacht.

Gute Nacht.

Sina86

13:05 Uhr, 22.04.2016

Bitte Anfrage nach erfolgreicher Beantwortung schließen, Danke ;-)

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