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Stetige Fubktion die ihren Wert genau dreimal ann.

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Stetigkeit

Tags: Funktion, Stetigkeit

Schmetterling91 aktiv_icon

16:54 Uhr, 25.01.2012

Hallo,
ich soll diesen Satz beweisen. Leider bin ich zur zeit im Klausurstreß, so dass ich nicht viel Zeit habe die Aufgaben zu lösen. Naja erstmal die Aufgabe:
Man soll beweisen:
Sei I:

[

a,b] Teilmenge von den reellen Zahlen. Es gibt keine stetige Funktion

f : I \to R

(reelle Zahlen) die ihren Wert genau dreimal annimmt.
Bleibt dieser Satz richtig, wenn man “dreimal” durch “n–mal” mit einem

n

größergleich 4 aus den ganzen Zahlen. Begründung.

Wie gesagt habe ich momentan viel streß und kann daher nicht jede Stunde hier nach schauen. Eigentlich könnte ich am besten die komplette Lösung gebrauchen, aber ich glaube das würde hier keiner machen, daher hoffe ich das mit euch zusammen hinzukriegen.(Bin ziemlich schlecht in Ana)
Ach ja ich glaube man muss das mit dem Zwischernwertsatz machen aber weiter weiß ich nicht.
Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

hagman aktiv_icon

20:40 Uhr, 25.01.2012

f

stetig ist, nimmt

f

sein Minimum an. Sei etwa

c = min {f (x) : x \in [a, b]}

.
Dann gibt es genau drei Stellen

a \leq u_{1} < u_{2} < u_{3} \leq b

mit

f (u_{i}) = c

.

Auf

[u_{1}, u_{2}]

nimmt

f

sein Maximum an, etwa an der Stelle

v_{1}

.
Da

f (x) > c

für

u_{1} < x < u_{2}

gilt, muss

f (v_{1}) > c

gelten.
Nach Zwischenwertsatz nimmt

f

zwischen

u_{1}

und

v_{1}

jeden Wert in

] c, f (v_{1}) [

mindestens einmal an.
Ebenso nimmt

f

jeden solchen Wert zwischen

v_{1}

und

u_{2}

mindetens einmal an.

Dieselbe Überlegung für

[u_{2}, u_{3}] :

Dort nehme

f

sein Maximum an der Stelle

v_{2}

an.
Zwischen

u_{2}

und

v_{2}

wird jeder Wert in

] c, f (v_{2}) [

angenommen und zwischen

v_{2}

und

u_{3}

ebenfalls.
Betrachte

y

mit

c < y < min {f (v_{1}), f (v_{2})}

.
Dann wird

y

mindestens je einmal an einer Stelle zwischen

u_{1}

und

v_{1},

zwischen

v_{1}

und

u_{2},

zwischen

u_{2}

und

v_{2}

sowie zwischen

v_{2}

und

u_{3}

angenommen, insgesamt also mindestens viermal!

Die Verallgemeinerung auf größeren statt 3 liegt auf der Hand.

-
Wie sieht es übrigen mit

n = 2

aus?

Schmetterling91 aktiv_icon

18:28 Uhr, 26.01.2012

Hallo, danke erstmal.
Also bei

n = 2

gilt das auch nicht. Kann ich davon und weil das ja bei

n = 3

auch nicht klappt darauf schließen, dass das für kein

n

aus den ganzen zahlen gilt. Aber das ist so ja keine begründung. Ich weiß nicht wie ich das begründen soll.

Gruß

hagman aktiv_icon

11:43 Uhr, 28.01.2012

"Für kein n" wäre übertrieben, denn mit

n = 1

geht es ja, denke an

f (x) = x

.

Die Aussage für

n \geq 2

zeigt man eigentlich ganz analog, kann aber nicht "einfach so" von

n = 3

auf beliebiges

n

schließen:

Da

f

stetig ist, nimmt

f

sein Minimum an.
Sei etwa

c := min {f (x) : x \in [a, b]}

Dann gibt es genau

n

Stellen

a \leq u_{1} < ... < u_{n} \leq b

mit

f (u : i) = c

.
Für

1 \leq i < n

nimmt

f

auf

[u_{i}, u_{i + 1}]

sein Masimum an, etwa an der Stelle

v_{i}

.
Da

f (x) > c

für

u_{i} < x < u_{i + 1}

gilt, muss

f (v_{i}) > c

gelten.
Dann ist auch

min {f (v_{i}) : 1 \leq i < n} > c

.
Wähle

y \in] c, min {f (v_{i}) : 1 \leq i < n} [

beliebig.
Nach Zwischenwertsatz nimmt

f

zwischen

u_{i}

und

v_{i}

(mit

1 \leq i < n)

jeden Wert in

] c, f (v_{i}) [

an, insbesondere gibt es also

ξ_{i} \in] u_{i}, v_{i} [

mit

f (ξ_{i}) = y

.
Ebenso nimmt

f

zwischen

v_{i}

und

u_{i + 1}

(mit

1 \leq i < n)

jeden Wert in

] c, f (v_{i}) [

an, insbesondere gibt es also

ζ_{i} \in] u_{i}, v_{i} [

mit

f (ζ_{i}) = y

.
Da sie in disjunkten Intervallen liegen, sind die

ξ_{i}

und

ζ_{i}

paarweise verschieden, liefern also insgesamt (ja jeweils

1 \leq i < n

ist) mindestens

2 n - 2

Stellen, an denen

f

den Wert

y

annimmt.
Falls

n > 2

ist, ist aber

2 n - 2 = n + (n - 2) > n

im Widerspruch zur Voraussetzung an

f

.

Wie du siehst, funktioniert der Beweis von der konkreten Aufgabenstellung

(n = 3)

in dieser Form nur für

n \geq 3,

nicht dagegen für

n = 2

.
Für den Fall

n = 2

muss man also anders vorgehen. Hier hilft es, sowohl die globalen Minimalstellen

u_{i}

als auch die globalen Maximalstellen (nenne wir sie

w_{i})

zu untersuchen. Dann kommt es auf die relative Lage dieser Punkte an:
Wechseln sie sich immer ab (also

a \leq u_{1} < w_{1} < u_{2} < w_{2} \leq b

oder

a \leq w_{1} < u_{1} < w_{2} < u_{2} \leq b),

so ergeben sich drei Intervalle, in denen

f

jeweils vom Minimum zum Maximum anwächst bzw. abfällt, also jeden Zwischenwert jeweils mindestens einmal annimmt - insgesamt also mindestens dreimal.
Liegen beide Maximalstellen zwischen den Minimalstallen

(a \leq u_{1} < w_{1} < w_{2} < u_{2} \leq b),

so wird

min {f (x) : w_{1} \leq x \leq w_{2}}

insgesamt mindestens dereimal angenommen: einmal zwischen in

] w_{1}, w_{2} [

per Definition, ferner in

] u_{1}, w 1 [

und

] w_{2}, u_{2} [

jeweils per Zwischenwertsatz.
Liegen umgekehrt beide Minimalstellen zwischen den Maximalstallen, kann man ähnlich argumentiern.
Damit sind alle möglichen Reihenfolgen abgegrast.

Schmetterling91 aktiv_icon

18:38 Uhr, 29.01.2012

Hallo, vielen Dank für die tolle Hilfe.

LG

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