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Stetigkeit Beweis wie abschätzen

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Betrag, größer, stetig, Stetigkeit

 
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Jacke14196

Jacke14196 aktiv_icon

10:06 Uhr, 06.01.2021

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Ich will die Stetigkeit dieser Funktion beweisen und bin mir nicht sicher, wie ich da abschätzen kann.

f: , mit aus x folgt x2

Mein Ansatz:

für alle ε>0 gibt es ein σ>0 sodass für alle x element gilt:
sei σ=ε

x-xo<σ daraus folgt f(x)-f(xo)<ε

x2-xo2=(x-xo)·(x+xo)<σ·(x+xo)

Und jetzt frage ich mich, warum ich nicht einfach σ·(x+xo)<σσ=ε abschätzen kann. Wo ist der Denkfehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:17 Uhr, 06.01.2021

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x-x0<ε => x+x0=x-x0+2x0x-x0+2x0<ε+2x0

x2-x02=x-x0x+x0<ε(ε+x0)

Jetzt kann man einfach δ=ε(ε+x0) nehmen.
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HAL9000

HAL9000

10:32 Uhr, 06.01.2021

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Zur letztgenannten Frage von Jacke4196:

Die dabei benutzte Abschätzung σ(x+x0)<σ ist schlicht falsch, sofern x+x0>1 ist, und das ist bei ALLEN x0 mit x0>12 sowie x aus einer genügend kleinen Umgebung um x0 ja leider der Fall.



@DrBoogie

Irgendwas ist auch bei dir mit den ε,δ durcheinandergekommen... Ausgehend von x-x0<δ bekommen wir

x2-x02<δ(δ+2x0)

und das muss ε sein. Das ist z.B. gewährleistet, wenn wir δ=min{1,ε1+2x0} wählen.

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:34 Uhr, 06.01.2021

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Stimmt, war durcheinander, danke für die Korrektur.
Frage beantwortet
Jacke14196

Jacke14196 aktiv_icon

10:35 Uhr, 06.01.2021

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ja stimmt, hatte einen dummen Denkfehler, danke für die Antworten