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Stetigkeit, Gaußklammer

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Gauß-Klammer, Stetigkeit

SoNyu

20:09 Uhr, 08.12.2013

Hi, ich habe folgende Aufgabe:

Ermitteln Sie, an welchen Stellen die Gaußklammer, gegeben durch

ℝ \to ℝ

x \mapsto [x] = max {z \in ℤ ∣ z \leq x}

, stetig ist.

Diese Funktion sollte in

ℝ - ℤ

stetig sein und für alle ganzen Zahlen eben unstetig.
Dies würde ich nun gerne zeigen, leider weiß ich nicht so ganz wie.

Die Definition der Stetigkeit besagt ja, dass es eine Folge aus dem Definitionsbereich gibt, die gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert, und dass dann für jede Folge mit diesem Grenzwert gelten muss, dass der Funktionswert des Grenzwertes dieser Folge gleich sein muss.

Ich habe mir jetzt gedacht, dass ich zwei verschiedene Folgen betrachte und so zeige, dass es für ganze Zahlen nicht stetig sein kann.

Sei

z \in ℤ

dann haben offensichtlich die beiden Folgen

a_{n} = z + \frac{1}{n}

b_{n} = z - \frac{1}{n}

den Grenzwert z für n aus den natürlichen Zahlen ohne Null.

a_n ist aber immer etwas größer als z, also müsste dann die Gaußklammerfunktion diesen Wert auf die nächst größere z+1 Aufrunden. b_n ist immer etwas kleiner als z und wird somit auf z aufgerundet. So kommt es zu dieser Sprungstelle und ich hätte zwei Folgen gefunden die zwar den selben Grenzwert haben, aber nicht zum selben Funktionswert führen.
Soweit habe ich mir das gedacht, aber ich weiß nicht wie ich dies nun anhand der Definition für Stetigkeit "nachrechnen" kann.

Wie geht man da vor. Über Tipps würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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20:23 Uhr, 08.12.2013

Das ist doch schon gut. Eine geeignete Folge reicht aber schon, um Stetigkeit zu widerlegen. Sei

z \in ℤ

beliebig und

z_{n} := z - \frac{1}{n}

für alle

n \in ℕ

dann ist

lim_{n \to \infty} z_{n} = z

aber wegen

z - 1 \leq z_{n} < z

für alle

n \in ℕ

gilt:

lim_{n \to \infty} [z_{n}] = z - 1 \neq z = [z]

Jetzt fehlt noch der Nachweis der Stetigkeit für

z \in ℝ \ ℤ

SoNyu

20:30 Uhr, 08.12.2013

Okay, dann wähle ich jetzt ein beliebiges

r \in ℝ - ℤ

Könnte ich nun einfach so argumentieren, dass ich aus der Anordnung der reellen Zahlen immer eine ganze Zahl finden kann, welche meine relle Zahl übetrifft, welche dann gleichzeitig der Wert wäre auf den die Gaußklammer

r

abbildet.

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20:39 Uhr, 08.12.2013

Das macht jetzt nicht so Sinn was du schreibst. Du musst zeigen, dass für jede Folge

{(r_{n})}_{n \in ℕ}

mit

lim_{n \to \infty} r_{n} = r

auch

lim_{n \to \infty} [r_{n}] = [r]

gilt.
Du gibst dir also zunächst eine beliebige Folge

{(r_{n})}_{n \in ℕ}

mit

lim_{n \to \infty} r_{n} = r

vor. Jetzt wähle

ε > 0

geschickt und benutze dann die Grenzwertdefinition, um zu zeigen, dass fast alle Glieder von

r_{n}

die Gleichung

[r_{n}] = [r]

erfüllen.

SoNyu

20:49 Uhr, 08.12.2013

Ich soll jetzt also ein

ε > 0

wählen, dass

∣ [r_{n}] - r ∣ < ε

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21:03 Uhr, 08.12.2013

Nein, du sollst

ε > 0

so wählen, dass du aus

| r_{n} - r | < ε

ffa

n \in ℕ

folgern kannst, dass

[r] < r_{n} < [r] + 1

ffa

n \in ℕ

also gerade

[r_{n}] = [r]

ffa

n \in ℕ

. (ffa = für fast alle)
Etwas bildlicher: Sagen wir mal

r = 1,3

. Wenn du jetzt eine Folge

{(r_{n})}_{n \in ℕ}

hast die gegen

r

konvergiert dann kannst du ja

ε = 0,3

(oder gerne auch kleiner) wählen und die Grenzwertdefinition sagt dir, dass es ein

N \in ℕ

gibt so dass für alle

n \geq N

dann

| r_{n} - 1,3 | < 0,3

also gerade

- 0,3 < r_{n} - 1,3 < 0,3

sprich

1 < r_{n} < 1,6

gilt. Für alle

n \geq N

ist deswegen

[r_{n}] = 1

. Demnach muss

[r_{n}]

dann schon gegen

1 = [1,3]

konvergieren. Diese Beweisidee musst du jetzt halt auf den allgemeinen Fall übertragen auf beliebiges

r \notin ℤ

Falls du das

ε - δ - K r i t e r i u m

schon kennst, kannst du auch mal darüber nachdenken wie du das hier erfolgreich anwenden kannst.

SoNyu

21:31 Uhr, 10.12.2013

Ja das Epsilon-Delta-Kriterium ist bekannt.

Leider weiß ich nie so recht wie ich ein geeignetes Epsilon finde, auch jetzt nicht...

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10:55 Uhr, 12.12.2013

ε := min {x - [x], [x] + 1 - x}

tut es. Also der kleinere der Abstände zur nächstgrößeren und zur nächstkleineren ganzen Zahl. Das muss man so machen weil du bei

r_{1} = 1,3

ε_{1} = 1,3 - 1 = 0,3

wählen willst aber bei

r_{2} = 1,7

dann

ε_{2} = 2 - 1,7 = 0,3

.
Bei

ε - δ - K r i t e r i u m

übrigens genau die selbe Idee. Zu

ε > 0

wähle man

δ := min {x - [x], [x] + 1 - x}

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