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Stetigkeit, Kontraktion

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Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

 
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AstroYoman

AstroYoman

21:56 Uhr, 16.05.2015

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Hallo,

die Aufgabe lautet:

Sei f:[a,b]→[a,b] eine stetige Funktion mit f(x)=0, falls x irrational ist. Dann ist f kontrahierend.

wahr oder falsch


Eine Abbildung ist genau dann kontrahierend, wenn sie
(i) die Menge in sich abbildet
(ii) Lipschitz-Bedingung mit der Lipschitz-Konstanten λ∈[0,1) erfüllt: ∣f(x1)-f(x2)∣≤λ⋅∣x1-x2∣

oder

Eine kontrahierende Selbstabbildung eines Intervalls [a,b] besitzt genau einen Fixpunkt.

Wie überprüfe ich am besten, ob f kontrahierend ist?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

michaL aktiv_icon

22:11 Uhr, 16.05.2015

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Hallo,

lass dich mal von dem "kontrahierend" nicht zu sehr in Beschlag nehmen.

Man weiß aus den beiden Eigenschaften stetig und verschwindet auf der Menge der irrationalen Zahlen schon alles(!) über f. Denke nach. Verwende die Stetigkeit als Folgenstetigkeit!

Mfg Michael
AstroYoman

AstroYoman

17:33 Uhr, 17.05.2015

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"Verwende die Stetigkeit als Folgenstetigkeit"

f ist stetig auf D=[a,b]

∀x0∈ℝ:
für eine beliebige Folge (xn) in ℝ mit limn→∞(xn)=x0 fogt:
limn→∞f(xn)=f(x0)

und da f auf der Menge der irrationalen Zahlen verschwindet, ist limn→∞f(xn)=0.

Wie schließe ich daraus, ob f kontrahierend ist?
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michaL

michaL aktiv_icon

18:16 Uhr, 17.05.2015

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Hallo,

na, wann ist denn eine Abbildung kontrahierend?

Mfg Michael
AstroYoman

AstroYoman

19:38 Uhr, 17.05.2015

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Wenn sie auf D=[a,b] genau einen Fixpunkt besitzt.

⇒x0=0. f besitzt genau einen Fixpunkt, wenn x irrational.
D. h. f ist kontrahierend, falls x irrational ist.
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

22:46 Uhr, 17.05.2015

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Hallo
da hast du nichts gesagt. überlege, welche Werte die fkt auf rationalen Punkten annehmen kann, winn sie stetig ist.
Gruß ledum
AstroYoman

AstroYoman

02:18 Uhr, 18.05.2015

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Weil f stetig ist, dann muss auch gelten f(x)=0, falls x rational, damit keine Sprungstellen entstehen.
⇒ f ist kontrahierend, da sie genau einen Fixpunkt besitzt.

Stimmt das?
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

08:27 Uhr, 18.05.2015

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Hat sich erledigt
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michaL

michaL aktiv_icon

11:10 Uhr, 18.05.2015

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Hallo,

die Funktion f:[0;1]→[0;1],x↦1-x ist ebenfalls stetig und hat auch nur einen Fixpunkt. Aber eine Kontraktion ist sie deshalb (laut wikipedia) nicht.

Schreibe doch zunächst mal eure Definition einer Kontraktion hin.
Dann übersetze die Defintion in die von dir korrekt erkannte Situation deiner Funktion, der Nullfunktion!
Dann prüfe, ob die Übersetzung wahr ist. (Üblicher Dreischritt bei Definitionsprüfungen)

Mfg Michael
Frage beantwortet
AstroYoman

AstroYoman

22:34 Uhr, 19.05.2015

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Ok. Ich danke Euch für Eure Hilfe.
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

11:50 Uhr, 20.05.2015

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Hallo,

wenn du eine Lösung hast, könnte sich vielleicht ein anderer Teilnehmer darüber freuen, sofern du die hier posten würdest.

Mfg Michael
AstroYoman

AstroYoman

18:38 Uhr, 20.05.2015

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Eine Selbstabbildung ist genau dann kontrahierend, wenn sie Lipschitz-Bedingung mit der Lipschitz-Konstanten λ∈[0,1) erfüllt: ∣f(x1)−f(x2)∣≤λ⋅∣x1−x2∣

D. h.:

f(x)=0

⇒∣0-0∣≤λ⋅∣x1−x2∣
⇔0≤λ⋅∣x1−x2∣
⇔0≤λ

Wenn λ∈[0,1), dann ist f kontrahierend.
Bedeutet das in diesem Fall, dass f kontrahierend ist, oder doch nicht, da λ auch größer-gleich 1 sein kann?
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