Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Stetigkeit, Quantoren und Aussagen

Stetigkeit, Quantoren und Aussagen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Aussage, quantor, Stetigkeit

xy010192 aktiv_icon

12:52 Uhr, 05.10.2016

Hallo Leute,,
ich hatte heute Mathe in der Uni, aus zeitlichem Mangel, hat der Prof. nur ganz grob in 5 Minuten über das Thema Quantor geredet. Es wurden nicht mal alle Symbole erklärt oder was die Aufgabe ist. Ich hab in vielen Seiten nachgeschaut, aber leider nichts nützliches gefunden. Zwar haben viele beim Professor nachgefragt, aber er hat für uns nur eine Skizze gezeichnet, was da alles läuft. Ich bin keine begabte Mathematikerin und hab es kaum verstanden. Ich bitte um eure Hilfe. Wenn möglich nur erklären für Dummen, aber keine Lösungen bitte.

Die Aufgabe wäre:

Sei

f : R

→

R

stetig in

x 0

∈

R,

falls gilt:
∀ǫ

> 0

∃δǫ

> 0

∀x ∈

R

gilt:

| x

−

x 0 | <

δǫ ⇒

| f (x)

−

f (x 0) | <

ǫ.

Formulieren Sie mit Quantoren: Die Funktion

f

ist nicht gleichmäßig stetig.

Lg Lisa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Apilex aktiv_icon

14:38 Uhr, 05.10.2016

Versuch erstmal die Formuliereung von Stetigkeit die schon vorhanden ist in Worte zu fassen.
Dafür:

\forall :=

"Für alle "

\exists :=

"es existiert"

Danach überlege dir was der unterschied zwischen : gleichmäßig stetig

< - >

steig ist.

Danach versuchen die nicht gleichmäßig stetig in worte zufassen und danach mit Quantoren als Ersatz.

xy010192 aktiv_icon

22:12 Uhr, 05.10.2016

Ich entschuldige mich vorerst wegen meiner Dummheit in Mathe. Woran erkennt man ob es sich um eine gleichmäßige Stetigkeit und eine Stetigkeit? Ich habe viele Videos nachgeschaut, all diese wurde nicht in der Vorlesung erklärt. Wir haben nur ein Beispiel gemacht:

Aussage: es gibt eine größte natürliche Zahl

(∃n∈IN) (∀k∈IN)

n > k

hier ist logisch, dass es keine größte natürliche Zahl gibt, also gilt hier ein Negation.
-(∃n∈IN)(∀k∈IN)

: n > k

(∀n∈IN) (∃k∈IN)

(n < k)

aber bei der Hausübung weiß ich nicht wie

f

x 0

unstetig aussieht, ob es wahr oder falsch ist.

Apilex aktiv_icon

23:46 Uhr, 05.10.2016

Bei Steigkeit ist die Wahl von

δ

abhänigig von

x

und von

ε

(bei dir hieß es

Q) \to

das heißt für ein festes

ε

kannst du zu jeden

x

in deinem Intervall ein anderes

δ

finden.

Bei gleichmäßiger stetigkeit ist

δ

nur abhängig von

ε

und muss dann für alle

x

im Intervall die Stetigkeits Bedingung erfüllen.

Bsp.

f : ℝ \to [0, \infty)

mit

f (x) = e^{x}

ist stetig aber nicht gleichmäßig stetig
denn

: δ = ln (1 - \frac{ε}{e^{x}}) \Rightarrow \forall \bar{x}

mit

| x - \bar{x} | < δ : | f (x) - f (\bar{x}) | \leq | f (x) - f (x - δ) | = | e^{x} - e^{x + ln (1 - \frac{ε}{e^{x}})} | = | e^{x} - e^{x} \cdot (1 - \frac{ε}{e^{x}}) | = | e^{x} - e^{x} - ε | = ε

\Rightarrow | f (x) - f (\bar{x}) | \leq ε

jedoch nicht gleichmäßig stetig denn

\forall δ

und jedes

ε

gibt es ein

x

sodas wenn für

\forall \bar{x} | x - \bar{x} | < δ

erfüllt ist trozdem

| f (x) - f (\bar{x}) | \geq 2 ε

sei

x

zum Beispiel so gewählt

x := ln (\frac{3 \cdot ε}{1 - \frac{1}{δ}})

(möglich da in

ℝ

enthalten)

| f (x) - f (\bar{x}) | = | e^{x} - e^{x - δ} | = | e^{x} \cdot (1 - \frac{1}{δ}) | = | e^{ln (\frac{2 \cdot ε}{1 - \frac{1}{δ}})} \cdot (1 - \frac{1}{δ}) | = | \frac{2 \cdot ε}{1 - \frac{1}{δ}} \cdot (1 - \frac{1}{δ}) | = 3 \cdot ε > 2 \cdot ε

\Rightarrow

nicht gleichmäßig stetig

im algemeinen gilt für gleichmäßige stetigkeit muss in einem Intervall der maximale Betrag des Anstiegs kleiner als eine feste Zahl sein.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1326223

1326094

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?