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Stetigkeit abschnittsweise definierte Funktion

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Abschnittsweise definierte Funktion, abschnittsweise definierte funktionen, epsilon delta Kriterium, Stetigkeit

greenbay13 aktiv_icon

20:37 Uhr, 01.12.2018

Hallo,

ich soll zeigen, dass die Abschnittsweise definierte Funktion:
f(x)=(3x^2−2x für (x>0)............e^x−1 für

(x < 0))

x = 0

stetig ist, mithilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist |f(x)−f(0)|<E.
Für diesen Ausdruck erhalte ich dann durch einsetzen der Funktion:
|3∗x^2−2∗x|.
Ab hier weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen muss, um die Stetigkeit zu beweisen....

Als Hinweis zu der Aufgabe ist noch gegeben:
"Man verwende die Ungleichung: |e^x−1| ≤

\frac{| x |}{1 - | x |}

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

11:56 Uhr, 02.12.2018

Hallo,

weißt Du grundsätzlich nicht, wie das mit den

ε - δ

-Beweisen geht oder ist die zweiteilige Definition das Problem? Übrigens soll wohl

f (0) = 0

sein.

Gehen wir nur mal von dem einen Teil aus: Du musst überlegen: Wenn

ε > 0

gegeben ist, für welche

x

gilt dann

| 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x - 0 | < ε

Aber du brauchst diese Ungleichung nicht exakt lösen, vielmehr ist "nur" verlangt, ein

δ

(abhängig von

ε)

zu bestimmen, so dass folgender Schluss gilt:

0 < x < δ \Rightarrow | 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x | < ε

Gruß pwm

greenbay13 aktiv_icon

18:11 Uhr, 02.12.2018

Aber wie bekomme ich aus dieser Ungleich dann ein

δ

heraus ?
Das ist mein Problem.....
Genau,

f (0) = 0,

hab ich vergessen, tut mir leid !

greenbay13 aktiv_icon

18:12 Uhr, 02.12.2018

Und wie du schon erwähnt hast, tue ich mich auch auf Grund der zweiteiligen Definition etwas schwierig.....

pwmeyer aktiv_icon

19:13 Uhr, 02.12.2018

Hallo,

ich machs mal für die eine Seite vor:

Sei

ε > 0

gegeben, wähle

δ := min {1, \frac{ε}{5}}

Dann gilt für

0 < x < δ :

| 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x | \leq 3 \cdot x^{2} + 2 \cdot | x | \leq 3 \cdot | x | + 2 \cdot | x | = 5 \cdot | x | < 5 \cdot δ < ε

die zweite Ungleichung gilt weil

x < δ < 1

.

Wenn Du Dich damit beschäftigst, wirst Du sehen, ich habe mir durch einfache Abschätzungen das Leben erleichtert und nicht versucht, irgendwie ein größtmögliches

δ

zu finden.

Für den zweiten Teil kannst Du mit der angegebenen Abschätzung für

e^{x} - 1

ähnlich vorgehen.

Gruß pwm

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