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Stetigkeit begründen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Stetigkeit

Tags: Funktionalanalysis, Stetigkeit

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22:14 Uhr, 14.01.2017

Aufgabe siehe Bild.

Eine Funktion ist stetig, wenn sie keine Sprungstellen aufweist.

f

hat an

x = 1

eine Sprungstelle,

d . h

f

ist in

ℝ

{

1} stetig.

g

sollte auch stetig sein.

Wie kann ich das rechmerisch zeigen, begründen, dass

f

und

g

stetig sind?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

mihisu aktiv_icon

23:39 Uhr, 14.01.2017

Ich sehe kein Bild. Evtl. versuchst du das nochmal hochzuladen.
(Ich könnte mir denken, dass evtl. die Bilddatei zu groß für den Upload war. Dann könntest du Versuchen die Dateigröße zu verkleinern, oder das Bild irgendwo extern hochzuladen und dann hier im Forum zu verlinken.)

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00:11 Uhr, 15.01.2017

hier ist die Aufgabe

mihisu aktiv_icon

13:16 Uhr, 15.01.2017

Zunächst einmal gibt es eine Begründung für Stetigkeit, die man relativ häufig verwenden kann:

Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten bzw. Verkettungen von stetigen Funktionen sind wieder stetig.

Bei der vorliegenden Aufgabe kann man damit begründen, dass

g

als Verknüpfung stetiger Funktionen wieder stetig ist.

\\\\

Bei abschnittsweise definierten Funktionen kann man in vielen Fällen auch verwenden, allerdings nicht überall. Man muss bei den Übergängen der einzelnen Abschnitte der abschnittsweise definierten Funktion aufpassen.

Betrachten wir die Abbildung

f

aus der Aufgabe.

Man kann begründen:

Für

x > 1

bzw. für

x < 1

lässt sich

f

in einer Umgebung

U

von

x

mit

U \to ℝ, x \mapsto x

bzw.

U \to ℝ, x \mapsto x^{2}

ausdrücken, welche bekanntermaßen stetig sind.

Also ist

f

zumindest an den Stellen

x \in ℝ \ {1}

stetig.

Die eigentlich interessante Stelle, welche noch untersucht werden muss, ist

x = 1

.

Nun kann man bei solchen abschnittsweise definierten Funktionen die Stetigkeit an einer Stelle

x = x_{0}

meist am besten folgendermaßen nachprüfen:
Eine reelle Abbildung

f

ist genau dann stetig an der Stelle

x = x_{0},

wenn

lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = f (x_{0})

ist, also wenn der linksseitige Grenzwert

lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x),

der rechtsseitige Grenzwert

lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)

und der Funktionswert

f (x_{0})

jweils existiert und alle drei Werte übereinstimmen.

Berechne also die einseitigen Grenzwerte

lim_{x \to 1^{-}} f (x), lim_{x \to 1^{+}} f (x)

.
Und berechne den Funktionswert

f (1)

.
(Bzw. gebe diese Werte einfach an. Viel zu rechnen ist da nicht.)
Dann überprüfe, ob diese übereinstimmen.

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14:45 Uhr, 15.01.2017

f (1) = 2

ich weiß leider nicht wie ich den

lim

bei solch einer fkt berechnen soll.

mihisu aktiv_icon

16:07 Uhr, 15.01.2017

Naja für den linksseitigen Grenzwert

x \to 1^{-}

ist nur interessant, wie die Funktion für

x < 1

aussieht.
Analog ist für den rechtsseitigen Grenzwert

x \to 1^{+}

nur interessant, wie die Funktion für

x > 1

aussieht.

Also:

lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} x = lim_{x \to 1} x

lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} x^{2} = lim_{x \to 1} x^{2}

Und

lim_{x \to 1} x

bzw.

lim_{x \to 1} x^{2}

sollten dir hoffentlich keine Probleme machen.

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16:20 Uhr, 15.01.2017

beide streben gegen 1

mihisu aktiv_icon

16:26 Uhr, 15.01.2017

Genau. Ist also

f

an der Stelle

x = 1

stetig oder nicht?

italia aktiv_icon

17:38 Uhr, 15.01.2017

nein sie ist an dieser Stelle nicht stetig

mihisu aktiv_icon

17:58 Uhr, 15.01.2017

Genau.

Falls du die

b)

noch brauchst: (Ansonsten einfach ignorieren.)
Das geht im Grunde genauso. Für

x > 12

bzw.

x < 12

ist die Funktion stetig, da sie in einer Umgebung als Verknüpfung von bekanntermaßen stetigen Funktionen dargestellt werden kann.

Es geht also hauptsächlich um die Stelle