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Stetigkeit der Potenzfunktion f(x)=x^n
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 19:46 Uhr, 12.01.2007  |
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Hallo, Ich sitz hier an dieser Aufgabe und weiß ncht so richtig wie ich das machen soll. Kann mir jemand von euch weiter helfen? Sei n Element IN. Zeige anhand der Definition dass sie Funktion f: IR -> IR , f(x)=x^n stetig ist. Was ändert sich am Beweis für f: C -> C , f(z)=z^n? Die Definition von Stetigkeit lautet doch so: Eine Funktion D->IR heißt stetig in x_0 , wenn es zu jedem e > 0 ein d > 0 gibt, dass für alle x Element D gilt: Ist |x_0-x| < d , so ist |f(x_0) - f(x)| < e . Naja, ich hab mir dann mal überlegt was x_0 sein könnte. Ich hab mir gedacht da n Element IN ist und die natürlichen Zahlen bei Null beginnen, so ist x_0 = x^0 =1 weil jede Zahl x^0 = 1 ist. Ist meine Vermutung richtig? Naja und wie man nun weitermacht? Keine Ahnung! Ich hoffe mir kann jemand helfen. Vielen Dank schon mal LG Manu |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Ist aus der Vorlesung schon bekannt, dass ein Produkt u(x)*v(x) stetig ist, falls die u und v es jeweils sind?! - Denn durch wiederholte Anwendung hat man die Stetigkeit jedes endlichen Produktes. Im Speziellen wähle man u(x)=v(x)=x ... HTH -Steele- _________________________ Edit + Anmerkung: In der von Dir gegebenen Definition der Stetigkeit einer Funktion f in einem Punkt x0 € Df kann man sich das x0 nicht einfach aussuchen. Es ist schlicht eine Stelle, wo man die Funktion auf ´Zerreissen´ antestet. Das bedeutet aber auch, dass das, was bei dieser Stelle gutgeht, woanders ganz anders aussieht... ________x0________x1------------- Treppenfunktion, dh. stückweise konstant. Bei x0 stetig, bei x1 nicht, weil hat nen Sprung. n hat mit x0 nix zu tun. Es ist Bestandteil der Funktion. |
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Hallo, Ja das kam in der Vorlesung schon vor, d.h. es wurde ohne eine Bemerkung dazu an die Tafel geschrieben. Wie wendet man das dann an?Wie führe ich damit den Beweis? Gruß Manu |
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Startrampe: Dass die Identität f(x)=x stetig ist für jedes x=x0 ist trivial (bei Vorgabe eines ε > 0 wähle δ := ε). - Denn: |f(x)-f(x0)| = |x - x0| < ε = δ. Nehmen wir also u(x)=v(x)=x für f(x)=u(x)*v(x)=x². Mit dem Produktsatz ist f(x)=x*x =x² stetig (Voraussetzung wurde über die Startrampe erbracht). Damit aber auch x³= (x²)*x und damit x4= x³ *x, usw. .... schliesslich xn = xn-1*x. - Man könnte es auch ausführlich per Induktion formulieren... So wendet man das an. Resultat: f(x)= xn ist stetig für jedes n € N. -Steele- |
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Hallo, Ich habe das gleiche Problem gehabt, würde es jetzt aber noch gerne per Induktion zeigen! Kriegs aber nicht so ganz hin. Könnte mir jemand bitte den Ansatz für die Induktion zeigen? Wäre echt super!Danke... LG Julia |
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Prinzipiell ist Re3 ein Induktionsbeweis. Induktionsanfang: Die Identität ist stetig f(x)=x (Begründung exakt so wie in der Startrampe). Induktionsvoraussetzung: f(x)=xn ist stetig Induktionsschritt: f(x)= xn+1= xn *x ist Produkt stetiger Funktionen. SchlussSatz: f(x)=xn ist stetig für alle x €R und n €N |
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