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Stetigkeit einer Funktion mit zwei Variablen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

PhysikKatze aktiv_icon

23:07 Uhr, 13.05.2023

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe:
"

f (x, y) = {\begin{array}{rcl} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} : x \in A_{α} = {(x, y) \in ℝ^{2} : ∣ y ∣ < x^{α}} \\ 0 : x = (0, 0) \end{array}

Auf welchen Gebieten

A_{α}

, also für welche

α > 0

ist

f

stetig bzw unstetig?"

(sorry für die komische Formatierung, bekomme das gerade mit LaTeX nicht anders hin :-) )

Meine Ideen:
In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass

f

für

α = 2

stetig ist. Dafür haben wir folgende Abschätzung verwendet:

∣ \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} - 0 ∣ = ∣ x ∣ \cdot \frac{∣ y ∣}{x^{2} + y^{2}} \leq ∣ x ∣ \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} \leq ∣ x ∣ \to 0 = f (0, 0)

Wenn wir uns nun also

α

anschauen, kommen wir analog zu der Ungleichung

∣ x ∣ \cdot \frac{x^{α}}{x^{2} + y^{2}} \leq ∣ x ∣

Dabei ist es unser Ziel zu ermitteln, wann diese Ungleichung erfüllt ist. Das bedeutet, dass

\frac{x^{α}}{x^{2} + y^{2}} \leq 1

gelten muss. WolframAlpha gibt mir die Vermutung, dass diese Ungleichung für

α > 1^{}

erfüllt ist. Allerdings sehe ich einfach nicht, wie ich aus dieser Ungleichung einen Ausdruck für

α

erhalte. Hat vielleicht jemand dafür eine Idee?

Vielen Dank und liebe Grüße! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

07:04 Uhr, 14.05.2023

Hallo,

der Grenzwert

lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y)

muss ja letztlich aus jeder "Richtung" null sein.

Falls aber

x = y

erlaubt ist, so gilt:

f (x, x) = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} \overset{x \neq 0}{=} \frac{1}{2} \neq 0

Hinreichend für Unstetigkeit ist sicher, dass

α

so gewählt wird, dass

y = x

für

∣ y ∣ < 1

gilt.

Genügt dies schon, um dich zu erleuchten?

Mfg Michael

PhysikKatze aktiv_icon

11:11 Uhr, 14.05.2023

Vielen Dank für deine Antwort!

Leider verstehe ich es noch nicht ganz. Wenn wir

x = y

zulassen, dann bedeutet das doch, dass

f

in (0,0) generell nicht stetig sein kann, oder interpretiere ich das falsch? Ich verstehe nicht, wie da noch die Wahl von

α

eine Rolle spielt

Liebe Grüße!

PhysikKatze aktiv_icon

10:16 Uhr, 15.05.2023

Hallo nochmal!

Ich wollte diesen Thread nochmal wiederbeleben, weil ich leider noch keine Lösung erarbeiten konnte :-)

Liebe Grüße!

HAL9000

10:38 Uhr, 15.05.2023

Zunächst eine Anmerkung: Sollte die Bedingung in der Definition nicht eher

∣ y ∣ < ∣ x ∣^{α}

heißen? Denn was soll

x^{α}

denn für eine reelle Zahl sein, wenn

x < 0

und

α

nichtganz sind???

Zur Sache: Für

α > 1

kannst du innerhalb

A_{α}

schlicht abschätzen

∣ \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} ∣ \leq ∣ \frac{x y}{x^{2}} ∣ = ∣ \frac{y}{x} ∣ < ∣ x ∣^{α - 1} \to 0

für

x \to 0

PhysikKatze aktiv_icon

10:52 Uhr, 15.05.2023

Hallo!

Vielen Dank! Die Anmerkung gebe ich direkt an den Aufgabenersteller weiter :-)

Liebe Grüße!

HAL9000

10:56 Uhr, 15.05.2023

Nun zu den restlichen

α

: Für

0 < α \leq 1

liegen alle Werte

(x, \frac{x}{2})

mit

0 < ∣ x ∣ \leq 1

A_{α}

, es ist aber

f (x, \frac{x}{2}) = \frac{5}{8} \neq 0

, auch im Grenzüberganz

x \to 0

.

Warum ich nicht

(x, x)

genommen habe, wie michaL? Macht leider Ärger im Fall

α = 1

, denn da liegen diese Punkte dummerweise nicht in

A_{α}

, sondern nur auf dessen (leider nicht zugehörigem) Rand. ;-)

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