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Stetigkeit einer gebrochenen Funktion
Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe
Tags: rationale Funktion, Stetigkeit
 
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Liebe Community, ich habe vor gut 4 Jahren die Schule beendet und spiele nun doch mit dem Gedanken ein Fernstudium neben der Arbeit anzufangen. Aus diesem Grunde wollte ich micht wieder etwas fitter in Mathe machen. Bei der Uni in Stuttgart kann man Online-Aufgaben zur Auffrischung der Schuljahre durchprobieren und da bin ich nun bei der dritten Aufgabe auch gleich gescheitert. "Bestimmten Sie die Definitionslücken der Funktion (x³-2x²-x+2) / (x⁴-2x³-3x²+8x-4) und untersuchen Sie, ob dort stetig fortsetzbar ist." Nach etwas googeln und Auffrischung der Polynomdivision konnte ich folgendes schon lösen: 0=x⁴-2x³-3x²+8x-4 nun stellt sich mir aber die Frage, wie ich diese Definitionslücken auf Stetigkeit überprüfe. Das mit der Linemberechnung verstehe ich bisher nicht so ganz, und ich hoffe ihr könnt mir das für eine Definitonslücke erklären, sodass ich die anderen 2 zur Übung nutzen kann. Danke schonmal im Vorraus LG natsu Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, also zuerst mal ist die gebrochen rationale Funktion an den Definitionslücken nicht definiert und dann natürlich auch nicht stetig. Wo nichts ist, kann auch nichts sein. Aber faktorisiere auch den Zähler: Jetzt kann man kürzen. An den Stellen 1 und 2 kann man die Funktion steig ergänzen. Gruß Astor |
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Hallo Astor, Danke schonmal für die Antwort. Leider komme ich damit auch nicht so recht weiter. Zuerst aber die Frage, war der Ansatz den ich gewählt hatte falsch die Definitionslücken zu bestimmen? Mit den von dir gegeben Bruch habe ich nach kürzen folgendes erhalten Wie würde ich dann weiter vorgehen? |
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Habe in der Zeit noch ein wenig im Internet geforscht und vlt was gefunden. nach dem kürzen kann ich ja die Grenzwertberechnung durchführen Stellt sich nur die Frage was mein ist. Kann ich dort die Definitionlücken nutzen die ich errechnet habe? Dann wäre das nicht definiert Aber irgendwie weiß ich dann immer noch nicht an welchen Stellen die Funktion stetig oder unstetig ist. |
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Also ich habe den Zähler als Produkt dargestellt und den Nenner auch. Definitionslücken sind die Nullstellen vom Nenner. Das hast du ja auch erkannt und angewendet. Der Funktionsterm lautet: Nun kann man den Funktionsterm kürzen. Dann hat man: . Das hast Du ja auch. Die Grenzwerte für die Stetigkeitsuntersuchung: Soweit richtig. Nur musst du x gegen die weggekürzte Nennernullstelle, nämlich x=1; und x=2 streben lassen. Der Grenzwert von f für x gegen 1 ist unendlich bzw -unendlich. Hier liegt also eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Hier ist f nicht stetig. Der Grenzwert von f für x gegen 2 ist . Hier kann man die Funktion stetig ergänzen. Gruß Astor |
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Danke dir Astor, dann war ich ja doch gar nicht so verkehrt. Eine Funktion ist also dann stetig, wenn ich bei der Grenzwertberechnung der Definitionslücken die ich gekürzt habe eine Zahl bekomme. Bekomme ich keine Zahl ist sie nicht stetig. Dann habe ich die Grenzwertberechnung auch gleich wieder etwas aufgefrischt, sollte mir nur nochmal ansehen wie das war, wenn gegen unendlich geht. Aber bin damit zumindest schonmal einen großen Schritt weiter. Danke dir nochmals. |
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