Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Stetigkeit einer mehrdimensionalen Funktion

Stetigkeit einer mehrdimensionalen Funktion

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Mehrdimensionale Funktion, Stetigkeit

chemikus aktiv_icon

20:39 Uhr, 05.02.2010

Hallo,
ich habe schon ein bisschen gegoogelt aber noch keine Lösung gefunden. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Schonmal vielen Dank!!

Also, ich soll die Stetigkeit am Punkt (0,0) folgender Funktion zeigen:

g (x, y) = \frac{y^{2}}{x}

wenn x ungleich 0 ist und
0 wenn x= 0

Ich habe zunächst den Grenzwert für y = 0 bestimmt:

lim_{(x, 0) \to (0, 0)} g (x, 0) = lim_{(x, 0) \to (0, 0)} \frac{0}{x} = 0

Wenn ich x= 0 setze, hab ich als Ergebnis, dass der Grenzwert nicht existiert. Aber reicht das,
um zu zeigen, dass die Funktion in (0,0) nicht stetig ist?

lim_{(0, <) \to (0, 0)} g (0, y) = lim_{(0, y) \to (0, 0)} \frac{y^{2}}{0}

existiert nicht.

Wenn ich jetzt versuchte, dass mit Polarkoordinaten zu lösen, bekomme ich allerdings eine stetige Funktion:

x = r \cdot c o s (φ)

y = r \cdot s i n (φ)

g (x, y) = \frac{r^{2} \cdot s i n^{2} (φ)}{r \cdot c o s (φ)} = r \cdot t a n (φ) \cdot s i n (φ)

Wenn ich jetzt den Grenzwert bestimmte für r gegen 0:

lim_{r \to 0} r \cdot t a n (φ) \cdot s i n (φ)

= 0
somit wäre die Funktion stetig. Wo liegt mein Fehler? Danke schonmal!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

21:57 Uhr, 05.02.2010

Hallo,

die von dir angegebene Funktion ist in Null nicht stetig. Die Richtungsableitung

\frac{δ f}{δ y}

existiert für alle

x

.
Bewegt man sich mal auf der Kurve zu

y = \sqrt{x}

, so erhält man einen anderen Grenzwert als 0, deshalb ist die Funktion nicht stetig in Null.

Mfg Michael

chemikus aktiv_icon

22:07 Uhr, 05.02.2010

Vielen Dank. Nur noch eine Frage, stimmen die anderen Überlegungen mit den Grenzwerten?

michaL aktiv_icon

22:18 Uhr, 05.02.2010

Hallo,

also, die Überlegung zur ersten Funktion mit dem Grenzwert

y \to 0

(bei

x = 0

) ist falsch, da

f (0, y) = 0

per def.

Es ist gut möglich, dass die Funktion auf Strahlen tatsächlich den Grenzwert Null hat, da aber auf einer besonderen Kurve der Grenzwert ein anderer ist, kann

f

nicht stetig sein.

Mfg Michael

chemikus aktiv_icon

22:50 Uhr, 05.02.2010

Stimmt danke, daran hab ich nicht mehr gedacht.
Danke für deine Hilfe

719534

719484

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?