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Stetigkeit folgt komponentenweise Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

anonymous

13:56 Uhr, 07.11.2017

Hallo,

Die Aufgabenstellung lautet:
Eine Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ

heißt komponentenweise stetig, falls die Funktion

f_{x} : ℝ \to ℝ, f_{x} (y) = f (x, y)

für alle

x \in ℝ

und

f_{y} : ℝ \to ℝ, f_{y} (x) = f (x, y)

für alle

y \in ℝ

stetig sind.

Sei

f : ℝ^{2} \to ℝ

stetig. Zeigen Sie, dass dann

f

komponentenweise stetig ist.

Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.

Viele Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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13:58 Uhr, 07.11.2017

Bei den Definitionen natürlich. Was ist Stetigkeit?

anonymous

14:41 Uhr, 07.11.2017

Soll ich dir Stetigkeit im

ℝ^{n}

definieren?

DrBoogie aktiv_icon

14:44 Uhr, 07.11.2017

Am besten nutzt Du die Definition direkt, um die Aufgabe zu lösen.
Ich weiß, wie man das beweist. :-)
Im übrigen, der Beweis ist einfach im Netz zu finden.
Sorry, dass ich keinen Hinweis gebe, aber der Beweis ist einfach und direkt, da kann man eigentlich keinen Hinweis geben.

anonymous

16:34 Uhr, 07.11.2017

Sei

f : ℝ^{2} \to ℝ

stetig

\Rightarrow f

ist folgenstetig.
Sei

(x_{0}, y_{0}) \in ℝ^{2}

beliebig. Dann ex., aufgrund der Folgenstetigkeit von

f,

Folgen

(x_{n})

und

(y_{n})

mit

(x_{n}) \to x_{0}

und

(y_{n}) \to y_{0},

so dass

lim_{n \to \infty} f (x_{n}, y_{n}) = f (x_{0}, y_{0})

.

Also

lim_{n \to \infty} f_{y_{0}} (x_{n}) = lim_{n \to \infty} f (x_{n}, y_{0}) = lim_{n \to \infty} f (x_{n}, y_{n}) = f (x_{0}, y_{0}) = f_{y_{0}} (x_{0})

und

lim_{n \to \infty} f_{x_{0}} (y_{n}) = lim_{n \to \infty} f (x_{0}, y_{n}) = lim_{n \to \infty} f (x_{n}, y_{n}) = f (x_{0}, y_{0}) = f_{x_{0}} (y_{0})

.
Somit ist

f

komponentenweise stetig in allen

(x, y) \in ℝ^{2}

anonymous

19:13 Uhr, 07.11.2017

Ist das so richtig?

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19:25 Uhr, 07.11.2017

Nicht ganz.
Zuerst mal bedeutet Folgenstetigkeit nicht das, was Du schreibst.
Folgenstetigkeit ist in diesem Fall Folgendes: für JEDE Folge

(x_{n}, y_{n})

, welche zu

(x_{0}, y_{0})

konvergiert, muss gelten

f (x_{n}, y_{n}) \to f (x_{0}, y_{0})

.
Und zweitens ist nicht klar, wie genau daraus z.B.

f (x_{n}, y_{0}) \to f (x_{0}, y_{0})

folgt.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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