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Stetigkeit im Mehrdimensionalen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

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17:55 Uhr, 20.07.2010

Ist die Funktion $f : R^{2} \ {(0, 0)} \to R$ mit

$f (x, y) = \frac{y \sin (x y)}{x^{2} + y^{4}}$ im Punkt (0,0) stetig fortsetzbar?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

smoka

18:19 Uhr, 20.07.2010

Hallo,

Findest Du nicht, dass Dein Beitrag hier ein wenig dürftig ist?
Das hier ist keine Aufgabenlösemaschine sondern hier sitzen (in der Regel) nette Menschen die ihre Freizeit dafür opfern, anderen bei ihren mathematischen Problemen zu helfen.
Ein netter Umgangston und vielleicht wenigstens ein Satz (außer der Aufgabenstellung) sowie eigene Lösungsideen und eine detaillierte Darstellung Deines Problems wären vielleicht angebracht.

Was würdest Du sagen, wenn Dir jemand eine Aufgabestellung einfach so ohne Weiteres an den Kopf wirft?

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18:22 Uhr, 20.07.2010

Betrachte ich 2 Nullfolgen? Also zB: x=y=1/n für $n \to \infty$

Dann ist $f (\frac{1}{n}, 0) = 0$ und $f (0, \frac{1}{n}) = n^{3}$ also unendlich, wenn ich den Grenzwert bilde.

smoka

18:25 Uhr, 20.07.2010

Was bedeutet es denn, wenn Du diese Grenzwerte betrachtest?
Der GW

f (0, \frac{1}{n})

ist übrigens falsch.

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18:25 Uhr, 20.07.2010

Hi. Sry, ich wollt erst mal die Aufgabenstellung hinschreiben und dann meine Idee posten. Allerdings hing grad mein Rechner und daher dauerte mein 2. Post ein wenig.

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18:55 Uhr, 20.07.2010

Ich lasse die eine Variable gleich 0 und nähere die andere jeweils der 0 an. Wen nsich die beiden Werte unterscheiden, habe ich doch ein Gegenbeispiel gefunden, also gezeigt, dass f nicht stetig/stetig fortsetzbar ist.

Für y=1/n erhalte ich doch $\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^{4}}}$ und das ist $n^{3}$ oder nicht?

smoka

19:02 Uhr, 20.07.2010

Nein, da steht:

lim_{n \to \infty} f (0, \frac{1}{n}) = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} \sin (0 \cdot \frac{1}{n})}{0 + \frac{1}{n^{4}}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} \cdot 0}{\frac{1}{n^{4}}}

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19:09 Uhr, 20.07.2010

O

Shit, bin ich blind, ja klar, sry, dann wär der Grenzwert ja auch 0. Hm, dann hab ich das schon mal nicht widerlegt. Heißt das schon, dass es stetig ist? Nein, oder?

smoka

19:14 Uhr, 20.07.2010

Nein, Du musst es für alle Folgen zeigen, das war ja nur eine Spezialfall.
Außerdem ist die stetige Fortsetzbarkeit gefragt, d.h. Du musst erstmal einen Wert finden, mit dem die Fkt. im Usprung fortgesetzt werden kann (sofern sie überhaupt fortsetzbar ist).

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19:16 Uhr, 20.07.2010

Als Wert würde sich ja

f (0,0)

anbieten, aber da kommt ja nix gescheites raus, weil ich ja

\frac{0}{0}

bekomme.

smoka

19:22 Uhr, 20.07.2010

Es ist klar, dass der Wert an der Stelle

f (0, 0) = c

gefragt ist, denn an allen anderen Stellen ist die Fkt. stetig und muss nicht fortgesetzt werden. Wir suchen einen Wert für c.
Also in aller Regel geht man an solche Aufgaben, indem man eine Vermutung oder eine Behauptung hat und diese dann zu beweisen versucht.
Also, was ist Deine Vermutung/Behauptung?

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19:27 Uhr, 20.07.2010

Ich vermute

0,

da der Grenzwert bei

\frac{1}{n}

gegen 0 gegangen ist.

smoka

19:38 Uhr, 20.07.2010

Na, wo hängts? Beweise Deine Vermutung.

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19:42 Uhr, 20.07.2010

Darf ich die beiden getrennt berechnen. Also erst

x

gegen 0 gehen lassen und anschließend für das Ergebnis

y

gegen 0 und dann umgekehrt?

Hm, ich muss jetzt zum Training, bin dann erst so ab

10

oder halb

11

wieder da. Danke schon mal für deine Hilfe, evtl hast du noch nen guten Hinweis oder bist dann noch da.

Grüße

smoka

19:54 Uhr, 20.07.2010

Ich bin mir gerade nicht ganz sicher, ob es möglich ist, die Grenzwerte getrennt zu betrachten.
Ich würde an dieser Stelle eine Transformation auf Polarkoordinaten vorschlagen.

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22:29 Uhr, 20.07.2010

Ok, in Polarkoordinaten habe ich dann:

$\frac{\sin (φ) \sin (r^{2} \sin φ \cos φ)}{r \cos^{2} φ + r^{3} \sin^{4} φ}$ und r muss gegen 0 laufen. Dann bekomm ich aber wieder nix gescheites und 0/0?

smoka

23:34 Uhr, 20.07.2010

und was macht man bei

\frac{0}{0}

? L'Hospital ;-)

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11:48 Uhr, 21.07.2010

Ok, wenn ich Zähler/Nenner differenziere und r gegen 0 laufen lasse, erhalte ich $\frac{0}{\cos^{2} φ}$ , also kommt 0 raus. Richtig?

smoka

11:55 Uhr, 21.07.2010

Ja, es gilt:

lim_{r \to 0} \frac{r \sin φ \cdot \sin (r^{2} \sin φ \cos φ)}{r^{2} \cos^{2} φ + r^{4} \sin^{4} φ} = 0

Du musst bei L'Hospital Zähler und Nenner ableiten!

Warum bist Du hier fertig und wie lautet die Antwort auf die ursprüngliche Frage?

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12:01 Uhr, 21.07.2010

Jetzt habe ich gezeigt, dass die Funktion für kleiner werdenden Radius, also bei Annäherung an den Ursprung, gegen 0 geht und zwar aus allen Richtungen, außer wenn

φ = \frac{π}{2}

oder

\frac{3}{2} π

. Das entspricht einem

x = 0

in kartesichen Koordinaten. Also ist die Funktion stetig fortsetzbar für alle

x

ungleich 0?

smoka

12:06 Uhr, 21.07.2010

Also ist die Funktion im Punkt

(0, 0)

stetig fortsetzbar mit

f (0, 0) = 0

auch für x=0 geht f gegen 0.

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12:08 Uhr, 21.07.2010

Für

x = 0

geht

f

auch gegen

0,

das sieht man ja an der Ursprungsgleichung. Also ist

f

stetig fortsetzbar bei

(0,0)

. So passt das jetzt, richtig?

smoka

12:34 Uhr, 21.07.2010

Du solltest noch erwähnen mit welchem Wert f stetig fortgesetzt werden kann, ansonsten passt alles.

pwmeyer aktiv_icon

12:34 Uhr, 21.07.2010

Hallo,

leider nein: Betrachte mal

f (t^{2}, t)

für

t \to 0

.

Das ist ein typisches Beispiel dafür, dass sich Grenzwerte im

R^{2}

nicht durch Betrachtungen längs Geraden abschließend bearbeiten lassen.

Gruß pwm

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12:45 Uhr, 21.07.2010

Hm, jetzt dachte ich, dass ichs endlich mal habe...
Für

x = t^{2}

und

y = t

erhalte ich

\frac{sin (t^{3})}{2 t^{4}}

. Für

t

gegen 0 erhalte ich wieder

\frac{0}{0}

O

Mann. Wie löse ich das Problem noch?

smoka

12:48 Uhr, 21.07.2010

Erstens erhältst Du:

\frac{t \sin (t^{3})}{2 t^{4}}

und zweitens funktionieren Grenzwerte der Form

\frac{0}{0}

noch genauso wie vorhin (bzw. gestern).

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12:51 Uhr, 21.07.2010

Sry, hatte mich vertippt. Im Nenner sollte die Potenz 3 stehen...
Habe ich dann alle Sonderfälle gezeigt oder kommt noch irgendeiner?

smoka

12:53 Uhr, 21.07.2010

Hast Du den GW

t \to 0

gebildet?

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12:58 Uhr, 21.07.2010

Mit l'Hospital erhalte ich

\frac{3 t^{2} cos (t^{3})}{6 t^{2}}

. Wieder keine Aussage möglich, also nochmal.

\frac{6 t cos (t^{3}) - 9 t^{4} sin (t^{3})}{12 t}

. Wenn ich das noch einmal mache, wird der Zähler für

t

gegen 0 wieder 0 und der Nenner eine Konstante, also ist der Grenzwert 0. Damit ist das doch auch in Ordnung, oder?

smoka

13:01 Uhr, 21.07.2010

Nein, leider nicht.

\frac{3 t^{2} \cos (t^{3})}{6 t^{2}} = \frac{\cos (t^{3})}{2}

was passiert hier für

t \to 0

und was bedeutet das?

irmgard aktiv_icon

13:07 Uhr, 21.07.2010

Ui, kürzen vergessen. Ich bekomme den Grenzwert

\frac{1}{2}

. Also ist

f

nicht stetig fortsetzbar, weil ich (ihr) ein Gegenbeispiel gefunden habe.

Aber warum hat das mit den Polarkoordinaten funktioniert? Da konnte ich doch zeigen, dass es für diesen Winkel funktioniert??

smoka

13:11 Uhr, 21.07.2010

Ja richtig.

@pwmeyer: wie ist dann zu erklären, dass die Funktion in Polarkoordinaten gegen 0 strebt?

pwmeyer aktiv_icon

13:40 Uhr, 21.07.2010

Hallo,

sie strebt nicht gegen