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Stetigkeit im Mehrdimensionalen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

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19:09 Uhr, 28.06.2023

Hallo, ich soll die Stetigkeit von der Funktion

f : R^{2} \to R, \frac{3 x^{2} y - y^{3}}{x^{2} + y^{2}}

für

(x, y) \neq (0,0)

und

(0,0)

für

(x, y) = (0,0)

im Nullpunkt prüfen.

Nach meinen Überlegungen müsste sie dort stetig sein. Ich würde das Ganze gerne mit dem Epsilon-Delta Kriterium beweisen, habe aber Probleme bei den Abschätzungen, bzw. ich weiß nicht wie ich am Besten mein Epsilon wähle.

Danke für jegliche Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

21:19 Uhr, 28.06.2023

Schätze geeignet ab, z.B. so: Für alle

(x, y) \neq (0, 0)

gilt (u.a. mit Dreiecksungleichung)

∣ f (x, y) ∣ = ∣ \frac{3 x^{2} y - y^{3}}{x^{2} + y^{2}} ∣ = \frac{∣ 3 x^{2} - y^{2} ∣}{x^{2} + y^{2}} \cdot ∣ y ∣ \leq \frac{3 x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \cdot ∣ y ∣ \leq \frac{3 x^{2} + 3 y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \cdot ∣ y ∣ = 3 \cdot ∣ y ∣

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