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Stetigkeit im Mehrdimensionalen nachweisen
Universität / Fachhochschule
Stetigkeit
Tags: Stetigkeit
 
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Hallo liebe Onlinemathe Community! Ich lernen gerade für eine Analysis 2 Klausur und bin mal wieder über eine der Grundlagen gestolpert. Mein Problem ist, die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt des Raumes nachzuweisen. In der eindimensionalen Analysis war das ganze relativ schnell erledigt. Einmal den Grenzwert von links, danach von rechts bestimmen, wenn beide gleich sind ist die Funktion stetig. Wenn nicht, dann halt nicht. Im mehrdimensionalen gibt es leider unendlich viele Richtungen und Wege, in dem man sich einem Punkt nähern kann. Damit das ganze nicht all zu unverständlich wird, werde ich das Beispiel, mit dem ich arbeite mal kurz hier präsentieren: für ≠ für Diese Funktion ist in allen Punkten außer sowieso stetig, da sie eine komposition stetiger Funktionen für in allen Bereichen außer dem Ursprung ist. Um die Stetigkeit nachzuweisen, muss man bekanntlich folgendes nachweisen: (Sowohl als auch a sind in diesem Fall Vektoren des ich weiß leider nicht wie man den Vektorpfeil hier rein bekommt) Da bei uns netterweise 0 ist, bleibt der Betrag der Funktion stehen, welcher gleich null werden soll, wenn und gegen Null laufen. Nun teilen wir 0 durch was nicht wirklich eine Lösung liefert, mit der man arbeiten kann. In der Vorlesung wurde eine Lösung mit den Sandwhichprinzip angeführt. Man solle sich zwei Funktion suchen, deren Grenzwert man kennt. Eine, die stets kleiner ist, und eine Funktion die immer größer ist als die Ausgangsfunktion. Die kleine Schranke ist relativ leicht zu finden: Das ganze steht im Betrag, welcher nie kleiner wird als 0. Nur das herausfinden einer Funktion, welche immer größer ist als die Funktion, die mir gegeben ist, und welche ebenfalls einen Grenzwert bei 0 hat, das gelingt mir nicht wirklich. Gibt es eine allgemeine Möglichkeit die Funktion zu finden, die für alle stetigen Funktionen gilt? Die Probleme bei der Bestimmung der Stetigkeit treten in der Regel um den Nullpunkt auf, deswegen würde es mir erstmal reichen, diese Probleme zügig und sicher lösen zu können. Welchen Ansatz nimmt man hierzu? Dreiecksungleichung? Vielen Dank, dass du diesen langen Text über dich ergehen lassen hast. Wenn ich irgendwo einen Fehler gemacht habe, weißt mich bitte darauf hin. Beste Grüße, Hilkos. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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mit Abstand am einfachsten ist es meines Erachtens nach mit Polarkoordinaten zu arbeiten.Gelegentlich kann man auch den gesamten Term nach oben abschätzen, aber hier sehe ich nicht direkt, wie das möglich wäre. Du setzt und lässt r gegen 0 laufen. Falls ich mich nicht verrechnet habe, sollte am Ende rauskommen und, wie man hier vielleicht sieht kommen hier alle Werte zwischen [0,1] raus, was auf keine Stetigkeit in 0 deutet. Ein anderer Weg wäre indem du eine Nullfolge betrachtest. Beispielsweise kannst du hier und betrachten gegenüber . In beiden Fällen kommen verschiedene Werte raus. |
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