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Stetigkeit im R^2 zeigen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

Peter857 aktiv_icon

15:30 Uhr, 20.05.2018

Hallo,

folgende Aufgabe möchte ich lösen:

Untersuchen Sie, ob die angegebene Funktion

f : R^{2}

ohne

{{(0,0)}^{T}} \to R

zu einer auf ganz

R^{2}

stetigen Funktion fortgesetzt werden kann und geben Sie gegebenenfalls den Funktionswert im Punkt

{(0,0)}^{T}

an.

a) f (x, y) = \frac{x^{2} + y^{2}}{| x | + | y |}

Die Funktion ist ja nicht definiert für

{(0,0)}^{T}

. Die Frage ist doch, ob die Funktion auch stetig wäre, wenn sie auch in

{(0,0)}^{T}

definiert wäre oder?

Also:

f (x, y)

ist stetig für

{(x, y)}^{T} \neq (0,0)

per Definition.

So, jetzt finde ich eine Folge bei der ich die Definition der Folgenstetigkeit anwenden kann:

Sei

(a_{n}) = (\frac{1}{n} \frac{1}{n})

Zz:

lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = f (lim_{n \to \infty} (a_{n}))

lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = 0 = f (lim_{n \to \infty} (a_{n})) = f (0,0)

Vermutung:Also müsste

f (0,0) = 0

sein.

Dies gilt jetzt aber nur für eine Folge, wie zeige oder widerlege ich es für alle Folgen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

22:47 Uhr, 20.05.2018

Hallo
in jeder Umgebungvon 0 kann ich durch

x = r \cdot cos (φ), y = r \cdot sin (φ)

jeden Punkt beschreiben, wenn also der GW

r \to 0

unabhängig von

φ = 0

ist hast du die Stetigkeit in 0

(sin

und

cos

sind nie gleichzeitig

0!)

Gruß ledum

PhysikIzGut aktiv_icon

23:12 Uhr, 20.05.2018

Ersteinmal reicht es nicht zu zeigen, wie du schon vermutet hast, dass, wenn nur eine eingesetzte bestimme Folge zu einem Grenzwert führt, dass daraus die Stetigkeit folgt. Stetigkeit in einem Punkt bedeutet, dass wirklich jede beliebige Folge, die gegen diesen Punkt konvergiert, dort in der Funktion den selben Grenzwert liefert. Dadurch ist es deutlich einfacher, eine nicht-Stetigkeit zu zeigen, als allgemein Stetigkeit.

Stetigkeit in diesem Beispiel würde ich mit allgemeinen Nullfolgen

(x_{n})

(y_{n})

zeigen. Einmal, dass

(x_{n})

(y_{n})

gilt und einmal, dass OBdA

(x_{n})

(y_{n})

. Da die Funktion symmetrisch in x und y, reicht es, es für diesen Fall zu zeigen, weil die anderen Fälle identisch nur mit Wechsel des Buchstabens zu zeigen wären.

Und wenn ich nicht bescheuert bin, konvergiert es in beiden Fällen auch gegen 0.

Peter857 aktiv_icon

23:24 Uhr, 20.05.2018

Okay warte mal... :-)

Peter857 aktiv_icon

23:33 Uhr, 20.05.2018

#PhysikIzGut

Also müsste ich dann zeigen:

1)

für

(a_{n}, b_{n})

mit

lim_{n \to \infty} = 0

und

a_{n} = b_{n}

\frac{{(a_{n})}^{2} + {(b_{n})}^{2}}{| a_{n} | + | b_{n} |} = \frac{{(a_{n})}^{2} + {(a_{n})}^{2}}{2 \cdot (a_{n})}

(da

a_{n} = b_{n})

= a_{n}

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

Ist der erste Fall so richtig?

PhysikIzGut aktiv_icon

23:35 Uhr, 20.05.2018

Jo den hab ich auch so

Peter857 aktiv_icon

23:35 Uhr, 20.05.2018

Okay ich mache den 2.

. .

Peter857 aktiv_icon

23:45 Uhr, 20.05.2018

Und wie mache ich den 2. Fall. Spontan habe ich das versucht:

\frac{{(a_{n})}^{2} + {(b_{n})}^{2}}{| a_{n} | + | b_{n} |} \leq \frac{{(b_{n})}^{2} + {(b_{n})}^{2}}{2 \cdot a_{n}} = \frac{{(b_{n})}^{2}}{a_{n}}

Falscher Weg oder?

PhysikIzGut aktiv_icon

23:52 Uhr, 20.05.2018

Sei OBdA

(y_{n}) < (x_{n})

, dann gilt:

∣ f ((x_{n}), (y_{n})) ∣

\frac{∣ (x_{n})^{2} + (y_{n}) ∣^{2}}{∣ (x_{n}) ∣ + ∣ (y_{n}) ∣} \leq

\frac{∣ (x_{n}) ∣^{2} + ∣ (y_{n}) ∣^{2}}{∣ (x_{n}) ∣ + ∣ (y_{n}) ∣} <

\frac{2 ∣ (x_{n}) ∣^{2}}{∣ (x_{n}) ∣ + ∣ (y_{n}) ∣}

=

\frac{2 ∣ (x_{n}) ∣}{1 + \frac{∣ (y_{n}) ∣}{∣ (x_{n}) ∣}} \leq 2 (x_{n})

Im ersten Schritt hab die Dreiecksungleichung benutzt.
Im Zweiten, dass

(y_{n})

kleiner als

(x_{n})

ist.
Im Dritten mit

\frac{1}{∣ (x_{n}) ∣}

erweitert und
im Vierten ausgenutzt, dass wegen den Beträgen (die laut Definition immer

\geq

0) der Nenner nicht kleiner 1 werden kann.

Peter857 aktiv_icon

23:59 Uhr, 20.05.2018

Okay, magst du mir das einmal zeigen? :-)

Peter857 aktiv_icon

00:05 Uhr, 21.05.2018

\frac{{(b_{n})}^{2} + {(b_{n})}^{2}}{| a_{n} | + | b_{n} |} =

\frac{{(b_{n})}^{2}}{| a_{n} | + | b_{n} |} + \frac{{(b_{n})}^{2}}{| a_{n} | + | b_{n} |} \leq \frac{{(b_{n})}^{2}}{| b_{n} |} + \frac{{(b_{n})}^{2}}{| b_{n} |} = b_{n} + b_{n}

Und der Limes ist Null, so müsste es stimmen oder?

PhysikIzGut aktiv_icon

00:11 Uhr, 21.05.2018

Hm, aber wie dus gemacht hast könntes auch gehn. Ich meine, die Beträge im Nenner sind ja alle größer oder gleich null, wenn man also einen wegstreicht, wird es aufjedenfall nur größer.
Deine Lösung könnte auch stimmen :-D)

Peter857 aktiv_icon

00:19 Uhr, 21.05.2018

Müsste beides richtig sein denke ich :-)

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