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Stetigkeit tanh

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Funktionen

Tags: Funktion, gleichmäßig stetigkeit, Stetigkeit

Nick2344 aktiv_icon

11:48 Uhr, 06.01.2018

Hallo, es geht darum zu zeigen,dass

tanh x

gleichmäßig stetig ist auf ganz

R :

Also zu zeigen:

\forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x' \in R \forall x \in R : | x - x' | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x') | < ε

Also es gilt:

tanh x = 1 - \frac{2}{e^{2 x} + 1}

eingesetzt:

| f (x) - f (x') | = | 1 - \frac{2}{e^{2 x} + 1} - (1 - \frac{2}{e^{2 x'} + 1}) | = | - \frac{2}{e^{2 x} + 1} + \frac{2}{e^{2 x'} + 1} |

Wie kann ich weiter abschätzen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

12:11 Uhr, 06.01.2018

Hallo
1. Schritt bei Brüchen: immer erst auf Hauptnenner bringen
Gruß ledum

Nick2344 aktiv_icon

13:09 Uhr, 06.01.2018

ok also:

| 2 (\frac{1}{e^{2 x' + 1}} - \frac{1}{e^{2 x + 1}}) | = | 2 \frac{(e^{2 x} + 1 - e^{2 x'} - 1)}{(e^{2 x'} + 1) (e^{2 x'} + 1)} | =

| \frac{2 e^{2 x} - 2 e^{2 x'}}{(e^{2 x'} + 1) (e^{2 x'} + 1)} |

Wie kann ich weiter abschätzen?

Nick2344 aktiv_icon

13:09 Uhr, 06.01.2018

Wie gehts weiter?

ledum aktiv_icon

19:13 Uhr, 06.01.2018

Hallo schätz den Nenner ab und dasse^x glm. stetig ist weisst du.
gruß ledum

Nick2344 aktiv_icon

21:31 Uhr, 06.01.2018

Kann ich den Nenner für

x = 0

abschätzen. Also

e^{2 \cdot 0} = 1

Also erhalte ich:

| 2 \frac{e^{2 x} - e^{2 x'}}{(1 + 1) (1 + 1)} | = \frac{1}{2} | e^{2 x} - e^{2 x'} |

Wie geht es weiter?

ledum aktiv_icon

21:46 Uhr, 06.01.2018

Hallo
du willst den kleinst möglichen Nenner, denk an

x < 0

Gruss ledum

Nick2344 aktiv_icon

22:14 Uhr, 06.01.2018

Aber welchen Wert setze ich da konkret ein. Ich komme nicht drauf;(

ledum aktiv_icon

22:42 Uhr, 06.01.2018

Hallo
du benutzt

e^{2 x} > 0

nimmst also 0 um den Nenner zu verkleinern und damit den Bruch zu vergrössern.
Gruß ledum

Nick2344 aktiv_icon

23:10 Uhr, 06.01.2018

D . h

ich erhalte dann

| e^{2 x} - e^{2 x'} |

Jetzt muss ich das wieder abschätzen, du hast gemeint, dass

e^{x}

gleichmäßig stetig ist. Aber ich komme leider trotzdem nicht weiter;(

Nick2344 aktiv_icon

23:10 Uhr, 06.01.2018

D . h

ich erhalte dann

2 | e^{2 x} - e^{2 x'} |

Jetzt muss ich das wieder abschätzen, du hast gemeint, dass

e^{x}

gleichmäßig stetig ist. Aber ich komme leider trotzdem nicht weiter;(

ledum aktiv_icon

00:43 Uhr, 07.01.2018

Hallo
entweder benutzt du, dass man weiß das

e 1 x

gleichmäsig stetig ist, dann bist du fertig, oder du schreibst statt

x' = x + h

und klammerst

e^{x}

bzw

e^{2 x}

aus.
Gruß ledum.

Nick2344 aktiv_icon

01:43 Uhr, 07.01.2018

Warum darf.man denn

x' = x + h

setzen?
Also dann habe ich

2 | e^{2 x} (1 + e^{2 h}) |

Was hilft mir das?

Nick2344 aktiv_icon

13:06 Uhr, 07.01.2018

wie kann ich weiter machen und mein

ε

finden?

Nick2344 aktiv_icon

19:28 Uhr, 07.01.2018

Niemand mehr

: (

ledum aktiv_icon

19:50 Uhr, 07.01.2018

Hallo
ich hab dir leider einen falschen Weg gezeigt, denn

e^{x}

ist ja gar nicht glm stetig.
benutze die Ableitung von

tanh (x),

die ist beschränkt und hat bei 0 ihr Max. dann hattet ihr entweder den Satz, dass bei beschränkter Ableitung die fkt glm. stetig ist, oder du benutzt die Ableitung zum Beweis.
Gruß ledum

Nick2344 aktiv_icon

19:52 Uhr, 07.01.2018

Aber wir sollen die gleichmäßige Stetigkeit ohne Differentialrechnung zeigen. Wie würde das denn gehen?

Nick2344 aktiv_icon

19:52 Uhr, 07.01.2018

Aber wir sollen die gleichmäßige Stetigkeit ohne Differentialrechnung zeigen. Wie würde das denn gehen?

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