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Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 21:27 Uhr, 19.03.2006  |
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Zeige das die Folgende Funktion Stetig ist! Wie kann man das machen?? Und ist sie auch differenzierbar?? Brauche umbedingt Hilfe!! Danke!! |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Um Stetigkeit zu zeigen, wendet man die Definition an (siehe Epsilon-Delta-Sprache). Oftmals ist es aber einfacher, die Folgenstetigkeit zu zeigen. Das heißt, dass wenn eine Folge a_k gegen a konvergiert, so kovergiert auch f(a_k) gegen f(a). Meistens hilft es auch, dass die Summe, das Produkt und die Verkettung von stetigen Funktionen stetig ist. So ist mit sin x und y² auch xsin x^2+5 stetig. Falls man übrigens zeigt, dass die Funktion differenzierbar ist, so folgt die Stetigkeit mithin. Für die Differenzierbarkeit ist die lokale Approximierbarkeit durch eine lineare Funktion zu zeigen. Das bedeutet, dass der Differenzenquotient in diesem Punkt existieren und endlich sein muss. Übrigens gilt, dass auch die Summe, das Produkt und die Verkettung differenzierbarer Funktion differenzierbar ist. Jetzt wenden wir das an: a(x)=x, b(x)=x^2 und c(x)=sqrt(x) sind differenzierbar (das müsste ja bekannt sein). Damit ist auch f(x)=a(x)c(b(x)) differenzierbar (und mithin stetig)! |
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Hallo, ich glaube zwar auch, dass die Fkt. stetig und diffbar ist, allerdings ist die Argumentation fuer die Diffbarkeit so nicht richtig, da die Wurzelfunktion in 0 nicht diffbar ist! Und somit hat man auch keine Verkettung diffbarer Funktionen und die Argumentation bricht erstmal zusammen. Man kann allerdings die Null seperat betrachten, denn fuer alle restlichen Elemente der Definitionsmenge klappt die Beweisfuehrung. Cheers, Alex |
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Du hast prinzipiell recht. Fuer den Nullpunkt ist es aber eigentlich klar. Sei h>0 klein. Dann gilt [f(0+h)-f(0)]/h=|h| und das ist o(1), mithin ist die Ableitung f' in 0 gleich 0. (Differenzierbarkeit im Ursprung folgt) |
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Hallo, natuerlich ist das leicht fuer die Null zu sehen. Dennoch muss man es explizit machen. Und das ist nicht nur Formsache, denn - und deshalb kam ich erst drauf - mit deiner ersten Begruendung waere auch |x| diffbar und das ist es nicht. Cheers, Alex |
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