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Stetigkeit und Differenzierbarkeit mit Parameter

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

icefox01 aktiv_icon

08:04 Uhr, 03.12.2019

Ich schaffe es leider nicht folgende Aufgabe zu lösen.

Für

a, b > 0

betrachten wir die Funktion

f : ℝ \to ℝ : x \mapsto {| x |}^{a} \cdot sin (\frac{1}{{| x |}^{b}})

wenn

x \neq 0

und 0 wenn

x = 0

.

Für welche Werte von a und

b

ist die Funktion

f

stetig/ differenzierbar/ stetig differenzierbar/ zweimal stetig differenzierbar?

Meine Überlegung:
Für die Stetigkeit in 0 muss der Grenzwert von

lim_{x \to 0} {| x |}^{a} \cdot sin (\frac{1}{{| x |}^{b}}) = 0

sein.
Das ist für jedes a und

b

der Fall da

{| x |}^{a}

immer 0 ist und der sinus beschränkt. Richtig?

Danach weiß ich nicht mehr weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

13:13 Uhr, 03.12.2019

Hallo
die Überlegung für stetig ist gut.
Dann einfach mal differenzieren, Produktregel, und dann dieselben Überlegungen wie bei stetig, nur kann ja jetzt der Exponent von

x

auch

< 0

werden.
Gruß ledum

icefox01 aktiv_icon

13:27 Uhr, 03.12.2019

Ok.
also abgeleitet bekomme ich:

x \cdot a \cdot {| x |}^{a - 2} \cdot sin (\frac{1}{{| x |}^{b}}) - x \cdot b \cdot {| x |}^{- b + a - 2} \cdot cos (\frac{1}{{| x |}^{b}})

Hier kann ich doch durch den Faktor

x

bei beiden Summanden wieder sagen, dass es für alle a und

b

gleich 0 ist?

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