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Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Differenzierbarkeit, partiell, Stetigkeit

Kaloffi aktiv_icon

14:16 Uhr, 22.09.2018

Hey, ich habe die Aufgabe im Anhang hinzugefügt und wollte sie mit eurer Hilfe machen da ich zwischendurch immer wieder Fragen haben werde.

Die erste Frage wäre direkt schon wie ich das mit der Stetigkeit am besten beweise.

Kann ich sagen, dass

f

für

x \neq 0

als Produkt und Quotient stetiger Funktionen stetig ist und dann nur die Stetigkeit um Nullpunkt zeigen?

Ich habe auch die Lösungen hier liegen aber da will ich noch nicht reinschauen, außerdem sind die nicht sehr ausführlich.

LG Kaloffi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

15:33 Uhr, 22.09.2018

Hallo
ja du musst alle Fragen nur für

(0,0)

beantworten.
Gruß ledum

Kaloffi aktiv_icon

18:04 Uhr, 22.09.2018

a)

Sei

(x_{n})

eine Nullfolge.

\frac{x_{n 1} \cdot x_{n 2} \cdot ({(x_{n 1})}^{2} - {(x_{n 2})}^{2})}{{(x_{n 1})}^{2} + {(x_{n 2})}^{2}} = \frac{x_{n 1}^{3} \cdot x_{n 2} - x_{n 1} \cdot x_{n 2}^{3}}{{(x_{n 1})}^{2} + {(x_{n 2})}^{2}} =

\frac{x_{n 1}^{3} \cdot x_{n 2}}{{(x_{n 1})}^{2} + {(x_{n 2})}^{2}} - \frac{x_{n 1} \cdot x_{n 2}^{3}}{{(x_{n 1})}^{2} + {(x_{n 2})}^{2}} \leq \frac{x_{n 1}^{3} \cdot x_{n 2}}{{(x_{n 1})}^{2}} - \frac{x_{n 1} \cdot x_{n 2}^{3}}{{(x_{n 2})}^{2}} =

x_{n 1} \cdot x_{n 2} - x_{n 1} \cdot x_{n 2} = 0 \to 0

Geht das so?

ledum aktiv_icon

19:33 Uhr, 22.09.2018

hallo
wenn du in einer Differenz beide Teile verkeinerst ist nicht unbedingt die Differenz kleiner.
wenn

x_{1} = r \cdot cos (t), x_{2} = r \cdot sin (t)

kannst du

r \to 0

betrachten, wenn dann der GW unabhängig von

t

gleich dem Wert bei

r = 0

ist ist. ist die fkt stetig.
Gruß ledum

gilgamesch4711 aktiv_icon

20:09 Uhr, 22.09.2018

Hier ich mach das jetzt in Polarkoordinaten; irgendwo muss sich doch auszahlen, dass ich Physiker bin. Mit zwei Additionsteotemen formen wir um

f (x; y) = f (r; φ) = \frac{1}{2} r

sin (2 φ) cos (2 φ) = \frac{1}{4} r

sin (4 φ) (1)

In der Polardarstellung siehst du nämlich genau, was passiert

(3 D

Plot

!)

Der Polarwinkel

φ

ist nämlich im Ursprung undefiniert; alles hängt daran, dass

r \Rightarrow 0

und diese Kalamität unterdrückt. Das dürfte ein verdellertes rotationsparaboloid geben mit Periode

90

C

b);

was der Nablaoperator in Zylinderkoordinaten ergibt, steht im Bronstein; hier das ist der beste Link:

de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Physik:_Nabla-Operator

\nabla f = \frac{\partial (f)}{\partial (r)} \vec{e_{r}} + \frac{1}{r} \frac{\partial (f)}{\partial (φ)} \vec{e_{φ}} = (2 a)

= r [\frac{1}{2} sin (4 φ) \vec{e_{r}} + cos (4 φ) \vec{e_{φ}}) (2 b)

Ich habe sehr stark das Gefühl, wenn du das ein zweites Mal ableitest. Dann fällt der Vorfaktor

r

heraus; und du bekommst einen Ausdruck, der im Ursprung gar nicht eindeutig definiert ist, gar nicht existiert. Dort sind sämtliche 2. Ableitungen unstetig.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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