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Stetigkeit von Funktion mit 0 (?) im Nenner

Schüler Abendgymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktion, Stetigkeit

Chris1995 aktiv_icon

12:49 Uhr, 21.05.2022

Bestimmen Sie alle a ∈ R, für welche die Funktion g : R → R im Punkt x = a stetig ist.

g (x) = \frac{x^{2} - a^{2}}{a - x},

für x<a

g (x) = x^{2} +^{1},

für x

\geq

a

Die beiden g(x) sollen die selbe Funktion sein, ich kriege nur gerade keine große Geschweifte Klammer hin.

Mein Ansatz war a für x einzusetzen und mir dann den Grenzwert der beiden Definitionen anzuschauen. Leider kommt dabei unauswechlich

\frac{0}{0}

raus und ich weiß nicht was ich damit machen kann.

Hoffe jemand kann mir helfen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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13:01 Uhr, 21.05.2022

Verwende:

x^{2} - a^{2} = (x - a) (x + a) = - (a - x) (x + a)

Damit lässt sich kürzen.

Die Lücke bei

x = a

ist hebbar:

g (x) = - x - a

für

x < a

g (a) = - a - a = - 2 a

...

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14:43 Uhr, 21.05.2022

PS:
Bei

\frac{0}{0}

kann man auch den L'Hospital anwenden.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

22:10 Uhr, 22.05.2022

Für

x < a

gilt

g (x) = \frac{x^{2} - a^{2}}{a - x} = \frac{(x - a) \cdot (x + a)}{a - x} = - (x + a) = - x - a \to - 2 \cdot a (x ↑ a)

und für

x \geq a

g (x) = x^{2} + 1 \to a^{2} + 1 (x ↓ a)

.

Also ist

g

stetig in a genau dann, wenn

- 2 \cdot a = a^{2} + 1

a^{2} + 2 \cdot a + 1 = 0 \Rightarrow a = - 1 \pm \sqrt{1^{2} - 1} = - 1

.

Nur für

a = - 1

ist

g

stetig in a und somit auf ganz

R

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12:36 Uhr, 23.05.2022

mit l'Hospital gilt:
Fall

1 (x < a) : g' (x) = 2 \frac{x}{- 1} \to - 2 a

für

x \to a

Fall

2 (x \geq a) : g (x) \to a^{2} + 1

\Rightarrow

Funktion ist stetig wenn

a^{2} + 2 a + 1 = 0 \Rightarrow a = - 1

Hinata aktiv_icon

12:36 Uhr, 23.05.2022

mit l'Hospital gilt:
Fall

1 (x < a) : g' (x) = 2 \frac{x}{- 1} \to - 2 a

für

x \to a

Fall

2 (x \geq a) : g (x) \to a^{2} + 1

\Rightarrow

Funktion ist stetig wenn

a^{2} + 2 a + 1 = 0 \Rightarrow a = - 1

Kartoffelchipsman aktiv_icon

14:16 Uhr, 23.05.2022

Was habt ihr hier mit eurem L'Hospital ?

Tolle Wurst,

f (x)

auf

R

stetig

bekommt durch

\frac{(x - a) \cdot (- f (x))}{a - x}

eine Definitionslücke in

a,

die dann

natürlich im Hospital amputierbar ist, denn

\frac{((x - a) \cdot (- f (x)))'}{(a - x)'} = (x - a) \cdot f' (x) + f (x) \to f (a) (x \to a)

.

Hat was von den fünf Ostfriesen mit dem Tisch und der Glühbirne...

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