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Stetigkeit von Funktion mit 0 (?) im Nenner

Schüler Abendgymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktion, Stetigkeit

 
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Chris1995

Chris1995 aktiv_icon

12:49 Uhr, 21.05.2022

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Bestimmen Sie alle a ∈ R, für welche die Funktion g : R → R im Punkt x = a stetig ist.

g(x)=x2-a2a-x, für x<a
g(x)=x2+1, für xa



Die beiden g(x) sollen die selbe Funktion sein, ich kriege nur gerade keine große Geschweifte Klammer hin.

Mein Ansatz war a für x einzusetzen und mir dann den Grenzwert der beiden Definitionen anzuschauen. Leider kommt dabei unauswechlich 00 raus und ich weiß nicht was ich damit machen kann.

Hoffe jemand kann mir helfen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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supporter

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13:01 Uhr, 21.05.2022

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Verwende:
x2-a2=(x-a)(x+a)=-(a-x)(x+a)
Damit lässt sich kürzen.

Die Lücke bei x=a ist hebbar:
g(x)=-x-a für x<a
g(a)=-a-a=-2a


....

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supporter

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14:43 Uhr, 21.05.2022

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PS:
Bei 00 kann man auch den L'Hospital anwenden.
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

22:10 Uhr, 22.05.2022

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Für x<a gilt

g(x)=x2-a2a-x=(x-a)(x+a)a-x=-(x+a)=-x-a-2a  (xa)

und für xa

g(x)=x2+1a2+1  (xa).

Also ist g stetig in a genau dann, wenn -2a=a2+1.

a2+2a+1=0a=-1±12-1=-1.

Nur für a=-1 ist g stetig in a und somit auf ganz R .
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-sun-

-sun- aktiv_icon

12:36 Uhr, 23.05.2022

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mit l'Hospital gilt:
Fall 1(x<a):g'(x)=2x-1-2a für xa
Fall 2(xa):g(x)a2+1
Funktion ist stetig wenn a2+2a+1=0a=-1
Antwort
-sun-

-sun- aktiv_icon

12:36 Uhr, 23.05.2022

Antworten
mit l'Hospital gilt:
Fall 1(x<a):g'(x)=2x-1-2a für xa
Fall 2(xa):g(x)a2+1
Funktion ist stetig wenn a2+2a+1=0a=-1
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Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

14:16 Uhr, 23.05.2022

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Was habt ihr hier mit eurem L'Hospital ?

Tolle Wurst, f(x) auf R stetig

bekommt durch (x-a)(-f(x))a-x

eine Definitionslücke in a, die dann

natürlich im Hospital amputierbar ist, denn

((x-a)(-f(x)))'(a-x)'=(x-a)f'(x)+f(x)f(a)  (xa).

Hat was von den fünf Ostfriesen mit dem Tisch und der Glühbirne...

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