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Stetigkeit von Identitäten auf metrischen Raum.

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: metrischer Raum, Stetigkeit

Lawliet aktiv_icon

15:08 Uhr, 28.04.2019

Hallo,

folgende Aufgabe gegeben:

Sei

(X, d)

ein metrischer Raum.

a)

Zeigen Sie, dass auch die Abbildung

\bar{d} : X x X \to [0,1 [

mit

\bar{d} (x, y) := d \frac{x, y}{1 + d (x, y)}

eine Metrik auf

X

definiert.

b)

Zeigen Sie, dass die Identität I:

(X, d) \to (X, \bar{d})

stetig ist.

c)

Zeigen Sie, dass die Identität

J : (X, \bar{d}) \to (X, d)

stetig ist.

Meine Probleme liegen eigentlich eher bei

b)

und

c)

. Habe keine genau Vorstellung wie ich das angehen soll.

Danke im Voraus und schönen Restsonntag. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

17:31 Uhr, 28.04.2019

Hallo,

letztlich geht es um die Äquivalenz der beiden Metriken, d.h. es geht um Konstanten

c, k > 0

sodass für alle

x, y \in X

gilt:

d (x, y) \leq c \cdot \overline{d} (x, y)

und

\overline{d} (x, y) \leq k \cdot d (x, y)

.

Das bedeutet, dass sogar für eine beliebige Abbildung

f : X \to Y

(ein anderer metrischer Raum etwa) gilt:

f

ist stetig bzgl. Metrik

d

\overset{}{\Leftrightarrow}

f

ist stetig bzgl.

\overline{d}

k

ist dabei leicht zu finden (Abschätzung).
Arbeit macht eigentlich nur die Konstante

c

. Auswendig weiß ich es auch nicht, ich vermute, eine entsprechende Abschätzung findet sich im Netz.

Mfg Michael

PS: Für die andere Abschätzung betrachte

f : x \mapsto \frac{x}{1 - x}

(0\leq x<1).

ermanus aktiv_icon

17:54 Uhr, 28.04.2019

Hallo,
sorry, dass ich "dazwischengrätsche".
Man betrachte

d : ℝ \times ℝ \to ℝ, (x, y) \mapsto ∣ x - y ∣

.
Gäbe es immer ein solches

c

, dann wäre

∣ x - y ∣ \leq c \frac{∣ x - y ∣}{1 + ∣ x - y ∣} \leq c

für alle reellen Paare

(x, y)

, z.B. auch für alle Paare

(n, 0)

mit

n \in ℕ

.
Gruß ermanus

Lawliet aktiv_icon

17:54 Uhr, 28.04.2019

Ich verstehe leider nicht wie ich auf die Abschätzung/en kommen soll, ich weiß ja nicht was

d

direkt sein soll..
Zumindest kann ich deinen Ansatz nachvollziehen:
Äquivalenz der Normen

\Rightarrow

Homöomorphie der Identität

\Rightarrow

Stetigkeit von I,J, richtig?

Lawliet aktiv_icon

17:58 Uhr, 28.04.2019

Aber woher kommt diese Abbildung? Ist mir nicht fremd, geht mir eher um die Begründung für die "Wahl"

ermanus aktiv_icon

21:58 Uhr, 28.04.2019

Ah, Michael hat noch etwas ergänzt ...
Bei der Aufgabe c) sucht man aber dennoch nicht nach einer Konstanten

c

,
da diese, wie ich gezeigt habe, nicht existiert. Ich denke, Michael hat hier eher
an äquivalente Normen gedacht.
Dennoch ist sein PostScriptum bzgl. der zu seinem

f

ähnlichen Funktion

h (z) = \frac{z}{1 + z}

sehr nützlich.

h

erweist sich nämlich auf

ℝ_{\geq 0}

als streng monoton wachsend,
weswegen

d (x, y) < ε \overset{}{\Leftrightarrow} \overline{d} (x, y) = h (d (x - y)) < h (ε) = \frac{ε}{1 + ε}

gilt. Somit wähle

δ = δ (ε)

als ...
Gruß ermanus

michaL aktiv_icon

14:34 Uhr, 29.04.2019

Hallo,

bitte um Entschuldigung, da habe ich doch voreilig geantwortet.
Offenbar sind die beiden Metriken nicht äquivalent im Hinblick darauf, dass sie die gleichen Topologien liefern.
Ich dachte, dass man mit

f

eine globale Abschätzung erreichen kann, sehe aber ein, dass

f

dafür nicht geeignet ist.
Danke für die Richtigstellung, ermanus.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

14:41 Uhr, 29.04.2019

@michaL:
doch, doch: die Metriken sind durchaus äquivalent. Sie kommen aber nicht von
äquivalenten Normen her. Daher kann man "dein" c nicht finden;
dennoch ist die Identität in beiden Fällen stetig, da die offenen Kugeln
immer noch brav wechselseitig ineinander stecken ;-)
LG ermanus

michaL aktiv_icon

14:53 Uhr, 29.04.2019

Hallo,

tja, dass habe ich mir heute schon nicht mehr so genau angeschaut...
Ich meine mich aber an eine ähnliche Übungsaufgabe zu erinnern. Mal schauen, ob ich die noch finde...

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

15:02 Uhr, 29.04.2019

Ich habe eine alte "Quelle meiner Weisheit" wiederentdeckt:
Dieudonné: Foundations of Modern Analysis S.52/53 PROBLEMS 2).
Vor 50 Jahren bin ich wegen solcher üblen Aufgaben durch die
Analysis II - Klausur gerasselt ;-)
Vielleicht hast du das Buch in Deutsch oder findest die Aufgabe im Internet ...
Nun muss ich leider ;-) einen Vortrag an der Uni halten: Mathematisches Kaleidoskop
- Teil 3. Heute ist u.a. das Prinzip von Cavalieri dran ...
LG ermanus

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