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Stetigkeit von Normen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Lipschitz-stetig, Norm, Stetigkeit

 
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ElRon91

ElRon91 aktiv_icon

21:48 Uhr, 28.02.2011

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Hallo,

ich habe eine kurze Verständnisfrage. Wieso folgt aus der folgenden Gleichung, dass ∥.∥ Lipschitzstetig bezüglich ∥.∥∞ ist:

∥x∥≤C*∥x∥∞

wobei ∥.∥ eine beliebige Norm und ∥.∥∞ die unendlich Norm ist.

Danke! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
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ElRon91

ElRon91 aktiv_icon

23:10 Uhr, 28.02.2011

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Also ich habs selber hingekriegt. Für jemanden den es interessiert so funktionierts:

Um die Lipschitzstetigkeit zu zeigen muss folgendes erfüllt sein:
(I) ∥∥x∥-∥y∥∥∞≤C*∥x-y∥∞

man beginnt mit der folgenden Umformung der gegebenen Ungleichung ∥a∥≤C*∥a∥∞:
x=a-b
→∥x-y∥≤C*∥x-y∥∞

mit der Dreiecksungleichung für Normen kann leicht gezeigt werden, dass ∥x∥-∥y∥≤∥x-y∥ gilt. Da aber ∥∥x∥-∥y∥∥∞=∣∥x∥-∥y∥∣ genügt dies schon aus um (I) zu zeigen.

Damit ist es hoffentlich gezeigt :-P)