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Stetigkeit zeigen mit Defintionslücke

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Funktion, Funktionalanalysis

tommy23d aktiv_icon

18:10 Uhr, 17.02.2015

Hallo!

Mir fehlt komplett der Ansatz Stetigkeit zu zeigen. Ja es gibt die Definition mit dem Epsilon, aber den praktischen Bezug dahinter seh ich nicht.

Nun soll ich von

\frac{1 - x^{2}}{4 - x^{2}}

die Stetigkeit zeigen. Bei 2 und

- 2

ist eine Defintionslücke. Also versuch ich die links- und rechtsseitigen Grenzwerte zu finden, aber wie mache ich das. Da wir kein TR benutzen dürfen, glaub ich nicht, dass es damit getan ist

1,9

und

2,1

(bzw.

- 1,9

und

- 2,1)

einzusetzen.

Wie gehe ich vor?

In der Musterlösung steht nur "f ist stetig auf D(Def.Bereich), da aus stetigen Funktionen zusammengesetzt."
Das finde ich iwie sehr unbefriedigend. Zumal man manchmal doch rechnen muss, und hier reicht jetzt ein Satz??

Was Stetigkeit real bedeutet, ist mir klar ("ohne absetzen zeichnen")

Bitte um Hilfe, Vielen Dank im Voraus dafür!

LG Mike

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Atlantik aktiv_icon

18:30 Uhr, 17.02.2015

Hier eine erklärende Seite:

http//www.brinkmann-du.de/mathe/gost/diff_int_01_02.htm

mfG

Atlantik

Sina86

18:32 Uhr, 17.02.2015

Hi Mike,

grundsätzlich sollte man immer froh sein, wenn die Antwort nach der Stetigkeit einfach ist ;-)

Zur Aufgabe: Knackpunkt ist hier, zu testen, ob dem Prüfling klar ist (ich nehme mal an, es ist eine Prüfungsfrage), was er für die Stetigkeit testen muss. Man muss eben nicht den rechts- und linksseitigen Grenzwert bei Definitionslücken nachprüfen.

Zunächst stellt man sich die Frage: Was ist der Definitionsbereich meiner Funktion. Ist nichts vorgegeben, so ist immer der maximale Definitionsbereich gemeint, d.h. man muss erst alle Stellen finden, an denen die Funktion keinen Sinn gibt (also nicht "wohldefiniert" ist).

Die Frage nach der Stetigkeit macht nur für Punkte INNERHALB des Definitionsbereiches Sinn. Da Definitionslücken aber außerhalb liegen, fragt man nie, ob eine Funktion in einer Definitionslücke stetig ist oder nicht und man muss daher auch keine rechts- oder linksseitigen Grenzwerte betrachten.

Z.B. hat die Funktion

\frac{1}{x}

eine Definitionslücke bei

x_{0} = 0

und dort verschiedene rechts- und linksseitige Grenzwerte, dennoch ist sie stetig, auch wenn man sie nicht "ohne Absetzen zeichnen" kann. Das liegt daran, dass der Definitionsbereich nicht zusammenhängend ist (dieses "ohne Absetzen zeichnen" ist sowieso eine sehr stark vereinfachte Aussage).

Viele Grüße
Sina

tommy23d aktiv_icon

14:23 Uhr, 18.02.2015

Ok vielen Dank für die Antworten. Die haben mir schon etwas weiter geholfen. Wenn es dann zum praktischen Bezug kommt, stelle ich mir aber ein paar Fragen.

- Gibt es unstetige Funktionen, die nicht zusammmengesetzt sind?

- z . b

\frac{x}{ln (x^{2})}

soll stetig sein, weil es aus zwei stetigen Funktionen besteht. Sind damit

x

und

\frac{1}{ln (x^{2})}

gemeint? und diese sind stetig, da nicht zusammengesetzt?
- Dies soll stetig ergänzbar sein in

x = 0 (= 0

ist die Ergänzung). Ist dies weil für den Zähler 0 rauskommt und der Nenner dabei ungeachtet bleibt? Und warum wird dies nicht für

- 1

und 1 gemacht?
- Es ist differenzierbar, da für

f' (0)

für beide Ableitungen das gleiche rauskommt?! Und auch hier kommen für

- 1

und 1 nicht dieselben Werte raus, also dort nicht diffbar?
Gibt es also nicht differenzierbare Funktionen, die nicht zusamengesetzt sind? Oder sind es dann Def.-Lücken in der Ableitung, die in der Stammfunktion nicht vorkommen (Geht das überhaupt?)?

Vielen Dank, wenn mir das jemand erläutern könnte!!

LG Mike

pwmeyer aktiv_icon

17:22 Uhr, 18.02.2015

Hallo,

Du machst jetzt "zusammengesetzt" zu einem mathematischen Hyperbegriff - das trifft nicht zu.

Gemeint ist folgendes:

1. Man weiß, dass einige Funktionen(klassen) stetig sind: Polynome, trigonometrische Funktionen, exp-Funktion, Logarithmus

. .

.

2. Wenn

f

und

g

stetige Funktionen sind, dann auch

f + g, λ \cdot f, f \cdot g, \frac{f}{g}, f \circ g -

und zwar auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich.

Zum Beispiel ist

x

stetig, und auch

x^{2},

also auch

ln (x^{2}),

also auch

\frac{x}{ln (x^{2})} -

auf dem Definitionsbereich.

Allerdings gehört

x = 0

nicht zum Definitionsbereich. An dieser Stelle wird der Zähler=0 und der Nenner=0. Dann ist eine Grenzwertuntersuchung notwendig - keinesfalls kann man den Nenner einfach vergessen.

Gruß pwm

tommy23d aktiv_icon

17:40 Uhr, 18.02.2015

Danke für die Antwort!
Also rechne ich quasi mit

- 0,1

und

0,1

? Dann hätte ich aber für "-0,1" ein positives Ergebnis und für "0,1" ein negatives. Und die Grenzwerte müssen doch dieselben sein?!

Und warum wird stetige Ergänzbarkeit und Diffbarkeit für

0,

aber nicht für 1 und

- 1

in Betracht gezogen?

LG Mike

Sina86

17:41 Uhr, 18.02.2015

Hi,

erschwerend zu der Erläuterung von pwmeyer kommt hinzu, dass so ziemlich jede Funktion, mit der du im "Mathealltag" wahrscheinlich konfrontiert wirst, stetig ist. Unstetige Funktionen scheint man dann immer erst "konstruieren" zu müssen.

Das Problem ist, dass man in den meisten Disziplinen nur an den stetigen Funktionen interessiert ist und sich deshalb sehr wenig mit unstetigen Funktionen beschäftigt.

Grüße
Sina

tommy23d aktiv_icon

18:19 Uhr, 18.02.2015

Ok danke!

Aber warum erschwerend? es ist doch eigtl angenehm, dass die Lösung dafür einfach ist, indem es meist stetige Fkt sind?!

Dennoch ist mir unklar, warum nur die 0 für Stetige Ergänzbarkeit und für Diffbarkeit überprüft wird und

- 1

und 1 nicht?1

Danke

LG Mike

rundblick aktiv_icon

18:54 Uhr, 18.02.2015

.
ein Versuch zur Klarstellung:

Stetigkeit ist zunächst ein lokal definierter Begriff

\to

f

ist stetig AN DER STELLE

x = x_{o}

wenn

. .

. " (Tipp: Definition nachschlagen)

grundsätzlich ist eine Funktion nicht stetig an Stellen, wo sie nicht definiert ist
(dh wo schon mal überhaupt keinen Funktionswert existiert)
also in deinem Beispiel:

f (x) = \frac{x}{ln (x^{2})}

ist nicht stetig an den drei Stellen

\to - 1; 0

und

+ 1

kurz: an nicht im Definitionsbereich

D

liegenden Stellen kann

f

nicht stetig sein.

Wenn nun

f

an jeder Stelle von

D

stetig ist , dann sagt man kurz

f

ist (überall) stetig in

D

An gewissen Stellen (die nicht in

D

liegen) kann

f

einen Grenzwert haben

Beispiel

: lim_{x \to 0} \frac{x}{ln (x^{2})} = 0

an solchen Stellen gibt es die Möglichkeit der "stetigen Ergänzung" indem man die
Definition der Funktion in die Stelle

x = 0

hinein ergänzt durch Hinzunahme des Grenzwertes
Man sagt dann: die Lücke ist "schliessbar" (hebbar)

nebenbei: an den beiden anderen Unstetigkeitsstellen

(- 1

bzw

+ 1)

von

f (x) = \frac{x}{ln (x^{2})}

existiert kein Grenzwert - deshalb gibt es da auch keine Möglichkeit stetiger Fortsetzung

Und noch dazu:
"Unstetige Funktionen scheint man dann immer erst "konstruieren" zu müssen."

\to

na ja - da jede einzelne Stelle, an der eine Funktion nicht definiert ist ,
eine Unstetigkeitsstelle abgeben kann , muss man nicht gross "konstruieren"

\to

einfaches Beispiel

: f (x) = \frac{1}{x}

ist an der Stelle

x = 0

Nicht stetig.. also

\to

f (x) = \frac{1}{x}

ist stetig an jeder Stelle

x \in R

mit

x \neq 0

und unstetig bei

x = 0

ok?

tommy23d aktiv_icon

14:18 Uhr, 19.02.2015

Ok, danke!

Also ist

- \frac{0,001}{ln (0,001)}

etwas neg. kleines durch etwas neg. großes; also geht gegen

0,

und für

\frac{0,001}{ln (0,001)}

gegen "-0".
Kann man das so praktisch angehene?

Und für

\frac{0,999}{ln (0,999)}

gegen Unendlichkeit und

\frac{1,001}{ln (1,001)}

auch gegen Unedlichkeit.

Wäre das ein praktischer Beweis für eine Asymptote oder gilt dies als Grenzwert?

LG Mike

pleindespoir aktiv_icon

23:01 Uhr, 19.02.2015

Grenzwert zu ermitteln, indem man möglichst grenzwertige Zahlen annimmt und in den unvorhandenen TR tippt, ist keine mathematisch gefragte Vorgehensweise.

Das Ziel ist algebraisch zum Grenzwert zu kommen - und dazu braucht man keinen TR

ledum aktiv_icon

23:48 Uhr, 19.02.2015

Hallo
in dem Fall

\frac{x}{ln (x^{2})}

benutzt man die Regel von L'Hopital um den GW zu finden.
bei 1 und

- 1

ist der Nenner 0 die Funktion also nicht definiert und da der Zähler nch auch 0 ist nicht stetig zu ergänzen.
da nicht definiert kann man auch ncht con stetig oder unstetig reden.
Gruß lula

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