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Stets Nullgewinn bei vollständiger Konkurrenz?

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Funktionen

Tags: Finanzmathematik, Funktion, Vollständige Konkurrenz

Valentina1234 aktiv_icon

13:24 Uhr, 24.07.2017

Hallo, ich bitte um eure Hilfe bei folgender Aufgabe. Ich habe die Preisabsatzfunktion von

p = 1 - x

gegeben und die Kostenfunktion

c = {(x - 0,75)}^{2}

und möchte nun berechnen, welche Menge

x

ein Anbietet bei vollständiger Konkurrenz anbietet.
Mein Ansatz ist: Gewinn

= p \cdot x - c = p \cdot x - {(x - 0,75)}^{2}

. Abgeleitet und Null gesetzt ergibt sich:

p = 2 x - 1,5

P =

Grenzkosten.
Setze ich nun für

p = 1 - x

ein, ergibt dies

2,5 = 3 x

und somit

x = \frac{5}{6}

. Setze ich diesen Wert wiederum in dieder Gewinnfunktion ein,, ergibt sich ein positiver Gewinn. Aber widerspricht das nicht dermehr Nullgewinntheorie bei vollständiger Konkurrenz?

Habe ich einen Denk- bzw. Rechenfehler?

Danke für euredie Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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14:26 Uhr, 24.07.2017

G (x) = (1 - x) \cdot x - {(x - 0,75)}^{2} = x - x^{2} - x^{2} + 1,5 x + {0,75}^{2} = - 2 x^{2} + 2,5 x - {0,75}^{2}

G' (x)) = - 4 x + 2,5 = 0

x = - \frac{2,5}{- 4} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}

Hier liegt das Gewinnmaximum.

Wenn du die Gewinnzone wissen willst, musst du

G (x) = 0

setzen.
Ich denke, du suchst diese Zone, oder?

http//www.wolframalpha.com/input/?i=-2x%5E2%2B2.5x-0.75%5E2%3D0

Valentina1234 aktiv_icon

14:38 Uhr, 24.07.2017

Danke für die schnelle Antwort! Du hast die Formel

p = 1 - x

direkt in die Gewinnfunktion eingesetzt - ich habe dies erst nach der Anleitung getan, da ein Anbieter bei vollständiger Konkurrenz als Preisnehmer auftritt.Habe ich dies falsch interpretiert?

Wenn ich

x = \frac{5}{8}

in die Gewinnfunktion einsetze, dann erhalte ich einenbin Gewinn von

0,78125

. Das heißt, dass die Anbieter einen Gewinn auch bei vollständiger Konkurrenz erzielen würden. Doch würden dann nicht weitere Anbieter in den Markt eintreten, bis ein Nullgewinn entsteht? Wenn dies so wäre, dann würde das Marktgleichgewicht doch beinicht einem

x

liegen, welches größer als

\frac{5}{8}

ist, oder?

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14:44 Uhr, 24.07.2017

Ich bin leider kein BWler, sondern nur Hobbymathematikr mit ökom. Grundkenntnissen.
Der Sachverhalt um den es geht, ist mir nicht vertraut.
Ich weiß nicht, mit welchen Formeln man da genau arbeiten muss.
Das weißt du sicher besser als ich aus der Vorlesung oder Literatur. :-)

Enano

20:06 Uhr, 24.07.2017

Bei deinem Ansatz gehst du davon aus, dass

c

die Kosten sind.
Wenn ihr mit

c

und nicht

C,

die Kosten bezeichnet, mit welchem Formelzeichen werden denn dann bei euch die Stückkosten bezeichnet?

Valentina1234 aktiv_icon

20:30 Uhr, 24.07.2017

Ja, genau.Die Kostenfunktion stellt eine nach oben geöffnete und um

0,75

Einheiten nach rechts versetzte Normalparabel dar. Diese Kosten sollen eher als ideelle Kosten Interpretiert werden und entsprechen deshalb nicht dem typischen Kostenverlauf.

mathemaus999

20:31 Uhr, 24.07.2017

Hallo,

du musst für

p

sofort

1 - x

einsetzen, da du beim Ableiten sonst die Produktregel auf den Term px anwenden musst, da

p

keine Konstante ist, sondern eine Funktion, die von

x

abhängt.
Es geht dabei nur um die Rechentechnik, nicht um den wissenschaftlichen Hintergrund.

Enano

11:57 Uhr, 25.07.2017

Dein Ansatz ist für einen Polypolisten, der Gewinnmaximierung anstrebt, richtig, denn in diesem Fall ist seine individuelle Angebotsfunktion identisch mit seiner Grenzkostenfunktion.

"Aber widerspricht das nicht dermehr Nullgewinntheorie bei vollständiger Konkurrenz?"

Nein, kurzfristig sind Gewinne möglich, aber langfristig würde dieser Polypolist keinen Gewinn erzielen, weil ihn ansonsten wegen fehlender Markteintrittsbarrieren neue Unternehmen vom Markt verdrängen würden.
Um das zu verhindern, würde er langfristig nicht die Gewinnmaximierung anstreben, sondern den Preis auf das Betriebsoptimum setzen.

"Habe ich einen Denk- bzw. Rechenfehler?"

Nein.

Valentina1234 aktiv_icon

12:31 Uhr, 25.07.2017

Vielen Dank, Enano!

Das Betriebsoptimum liegt dann in diesem Fall nicht im Kostenminimum (also nicht bei

x = 0,75),

da ja dort wieder bei einem Preis von

p = 1 - 0,75 = 0,25

Gewinne erzielt werden. Viel mehr liegt das Betriebsoptimum dann in dem Punkt, wo ein Nullgewinn erzielt wird. Das wäre in diesem Fall der Schnittpunkt der Preis-Absatz-Funktion mit den Durschnittskosten, oder?

Denn:

0 =

Gewinn

0 = (1 - x) \cdot x - x^{2} + 1,5 x - 0,5625

0 = 2 x^{2} - 2,5 x + 0,5625

1. Lösung:

x = 0,95571891

2. Lösung:

x = 0,29428109,

was den Schnittpunkten der PAF mit der Kurve der Durchschnittskosten entpsricht.

p =

Durchschnittskosten

1 - x = \frac{{(x - 0,75)}^{2}}{x}

x - x^{2} = {(x - 0,75)}^{2} = x^{2} - 1,5 x + 0,5625

0 = 2 x^{2} - 2,5 x + 0,5625

(siehe oben)

Demnach würde ein Anbieter sein Angebot auf

x = 0,95571891

ausweiten.

D . h .,

dass kurzfristige Gleichgewicht liegt bei Preis = Grenzkosten und das langfristige Gleichgewicht in diesem Fall bei Preis = Durchschnittskosten?!

Enano

14:21 Uhr, 25.07.2017

"Das Betriebsoptimum liegt dann in diesem Fall nicht im Kostenminimum (also nicht bei

x = 0,75),

da ja dort wieder bei einem Preis von p=1−0,75=0,25 Gewinne erzielt werden."

Doch, denn dort ist die langfristige Preisuntergrenze, die von der Gesamtkostenfunktion bzw. Stückkostenfunktion abhängt, aber nicht von der aktuellen Preis-Absatz-Funktion.
Kurzfristig würden zwar noch Gewinne erzielt, aber langfristig aufgrund weiterer Anbieter nicht mehr.
Das Betriebsoptimum wird rechnerisch ermittelt, in dem die Stückkostenfunktion der 1. Ableitung der Gesamtkostenfunktion gleich gesetzt wird oder in dem die 1. Ableitung der Stückkostenfunktion gleich Null gesetzt wird.
Bei deinem Beispiel läge das BO bei

x =

0,75ME.
Die langfristige Preisuntergrenze, erhältst du, wenn du diesen x-Wert in die Stückkostenfunktion einsetzt.
Wenn der Anbieter sein Produkt zu diesem Preis verkaufen kann, entsteht eine Null-Gewinn-Situation.
Dass dabei in deinem Beispiel

p = 0

ist, liegt an deiner "unmöglichen" Gesamtkostenfunktion, bei der du bei einer Produktion von 0,75ME keine Kosten hast, aber bei

x = 0

ME, Kosten in Höhe von

{0,75}^{2}

GE.

Valentina1234 aktiv_icon

20:39 Uhr, 25.07.2017

Vielen Dank!!!

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