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Stichprobengröße bei Konfidenzintervallen berechne

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Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Fehlerspanne, Konfidenzintervall, Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

Summerkiss aktiv_icon

13:06 Uhr, 17.08.2017

Hallo Leute,

ich komme einfach nicht drauf wo mein Fehler bei der Berechnung der Stichprobengröße liegt. Ich hoffe jemand kann mir auf die Sprünge helfen.

Hier die Aufgabe:

[...]

Eine Stichprobe von

162

Unternehmen ergab, dass

104

die Schätzungen übertroffen,

29

mit den Schätzungen übereingestimmt und

29

die Schätzungen nicht erreicht haben. Bestimmen Sie die Fehlerspanne und das 95%-Konfidenzintervall für den Anteil, der die Schätzungen übertroffen hat. Wie groß muss die Stichprobe sein, damit die Fehlerspanne

0,05

beträgt?

für

σ

habe ich

0,04

berechnet. Dann ergibt sich eine Untergrenze von

0,64 - 2,58 \cdot 0,04 = 0,5368

und eine Obergrenze von

0,64 + 2,58 \cdot 0,04 = 0,7432

. Aus dem Intervall

[0,5368; 0,7432]

ergibt sich eine Fehlerspanne von

0,1032

. Bis hier hin sollte alles stimmen.

Um die Stichprobengröße zu berechnen habe ich

n = {(\frac{2,58 \cdot \sqrt{0,64 \cdot 0,36}}{0,025})}^{2} = 2453

. Das ist auf jeden Fall falsch nur finde ich meinen Fehler nicht. Ich habe generell Schwierigkeiten mit solchen Aufgaben.

Hier ein weiteres Beispiel wo ich gar nicht weiß wie ich überhaupt anfangen soll, außer natürlich, dass

z, σ

und die Fehlerspanne gegeben sind:
Untersuchungen zum Kraftstoffverbrauch eines bestimmten Fahrzeugmodells sollen durchgeführt werden. Wenn ein 98%-Konfidenzintervall mit einer Fehlerspanne von

0,2

Litern pro 100km angestrebt wird, wie viele Autos sollten für diese Untersuchung verwendet werden? Nehmen Sie an, dass Voruntersuchungen eine Standartabweichung von

0,5

Litern ergeben haben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

17:22 Uhr, 17.08.2017

"Untersuchungen zum Kraftstoffverbrauch eines bestimmten Fahrzeugmodells sollen durchgeführt werden. Wenn ein 98%-Konfidenzintervall mit einer Fehlerspanne von Litern pro 100km angestrebt wird, wie viele Autos sollten für diese Untersuchung verwendet werden? Nehmen Sie an, dass Voruntersuchungen eine Standartabweichung von Litern ergeben haben."

Bei bekannter Varianz hast Du die Formel fürs Intervall:

[x - z_{1 - α / 2} \frac{σ}{\sqrt{n}}, x + z_{1 - α / 2} \frac{σ}{\sqrt{n}}]

, wobei

1 - α

das Konfidenzniveau ist. In Deinem Fall ist

α = 2 %

σ = 0.5

und

n

unbekannt. Die Fehlerspanne ist also

2 z_{0.99} \frac{0.5}{\sqrt{n}}

und das soll

0.2

sein, was eine Gleichung

2 z_{0.99} \frac{0.5}{\sqrt{n}} = 0.2

ergibt mit der Lösung

n = (2 z_{0.99} \frac{0.5}{0.2})^{2} = (2 \cdot 2.33 \cdot 2.5)^{2} = 136

(ungefähr).

DrBoogie aktiv_icon

17:41 Uhr, 17.08.2017

In der ersten Aufgabe brauchst Du

σ

nicht zu berechnen (hast Du übrigens falsch gemacht), hier geht's um das Intervall für den Anteilswert, dafür gibt's eine Formel ohne

σ

[x - z_{1 - α / 2} \frac{\sqrt{p (1 - p)}}{\sqrt{n}}, x + z_{1 - α / 2} \frac{\sqrt{p (1 - p)}}{\sqrt{n}}]

, wobei

p

der Anteilswert ist, in Deinem Fall

104 / 162 \approx 0.64

.

Damit ist die Fehlerspanne

2 z_{0.975} \frac{\sqrt{0.64 \cdot 0.36}}{\sqrt{162}} = 2 \cdot 1.96 \cdot \frac{0.48}{12.73} = 0.148

(ungefähr).

Wenn die Fehlerspanne

0.05

sein muss, bei gleichem Anteilswert, dann haben wir die Gleichung

2 z_{0.975} \frac{\sqrt{0.64 \cdot 0.36}}{\sqrt{n}} = 0.05

, woher

n = (\frac{2 \cdot 1.96 \cdot 0.48}{0.05})^{2} = 1416

(ungefähr).

Für die Details s.
http//mars.wiwi.hu-berlin.de/mediawiki/mmstat3/index.php/Konfidenzintervall_f%C3%BCr_den_Anteilswert

Summerkiss aktiv_icon

18:50 Uhr, 17.08.2017

Danke für deine Antwort! Ich bin jetzt noch etwas mehr verwirrt, da wir das mit den

2 z, 3 z

etc nicht hatten, sondern dafür immer einen Wert aus der Tabelle rausgeschrieben haben. Deine Lösungen stimmen auch nicht mit den Kontrolllösungen, die wir bekommen haben überein. Diese lauten für die erste Aufgabe

n = 354

und für die zweite Aufgabe

34

Autos.

DrBoogie aktiv_icon

19:44 Uhr, 17.08.2017

"sondern dafür immer einen Wert aus der Tabelle rausgeschrieben haben"

Ich habe auch Werte aus der Tabelle genommen. Man muss halt richtige Werte nehmen.

"Deine Lösungen stimmen auch nicht mit den Kontrolllösungen"

Dafür aber mit dem online-Rechner:
http//eswf.uni-koeln.de/lehre/stathome/statcalc/v2202.htm

Hast Du vielleicht die Aufgabe falsch wiedergegeben?

Summerkiss aktiv_icon

20:19 Uhr, 17.08.2017

Nein, die Aufgabe habe ich wortwörtlich abgeschrieben. Gut, dann werde ich meinen Dozenten fragen. Wenn das der richtige Rechenweg ist bleibt ja nur noch die Option, dass die Kontrolllösungen falsch sind.

anonymous

14:17 Uhr, 19.08.2017

Die Fehlerspanne soll heißen, dass die Schätzung sowohl nach oben als auch nach unten um 5 Prozentpunkte abweicht.

Statt der

0,05

im Nenner (bei der Lösung von DrBoogie) muss eine

0,1

stehen

\to n = 354

Entsprechend ist auch bei der ersten Lösung von DrBoogie die Fehlerspanne nicht

0,148

sonder

0,074

Als kurze Erklärung zur Rechnung von DrBoogie:
Dort rechnet er mit der Intervall länge

l

l = o - u

Wobei

u, o

die untere und obere Intervallgrenzen sind

[u, o]

Wenn du einfach mal die Formel für das Intervall von DrBoogie nimmst und die KI länge berechnest dann sieht du auch woher die

2 \cdot z

kommen.
Die Fehlerspanne beschreibt aber nicht die gesamt länge des Intervalls sondern nur die Hälfte.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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