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Stichprobenumfang Binomial vs. Poisson

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomial, Poisson, Stichprobenumfang

timjon aktiv_icon

18:26 Uhr, 21.02.2019

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zur Ermittlung des notwendigen Stichprobenumfangs für
- eine Binomialverteilung
- eine Poissonverteilung.

Folgende Vorschriften habe ich bisher abgeleitet und auch in der Literatur gefunden:
Binomial:

n \geq {(\frac{z}{δ})}^{2} \cdot p \cdot (1 - p)

Poisson:

n \geq {(\frac{z}{δ})}^{2} \cdot \frac{1}{λ}

Mein Problem ist nun, dass

λ

in der Regel sehr klein ist und damit

\frac{1}{λ}

sehr viel größer als

p (1 - p)

. Damit würden sich sehr unterschiedliche Größenordnungen von

n

ergeben.

Sieht jemand meinen Denkfehler?

Danke
Tim

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

20:24 Uhr, 21.02.2019

Hallo,

bei Poisson kommt mir das auch ein bischen spanisch vor. Denn die Varianz der Poissonverteilung ist ja

λ

.

Die Quelle würde ich germe mal sehen.

Gruß

pivot

timjon aktiv_icon

09:25 Uhr, 22.02.2019

Die Poissonabschätzung habe ich aus: "Sample Size Calculations: Practical Methods for Engineers and Scientists" von Paul Mathews. Danke für deine Hilfe!

Die Herleitung ist darin wie folgt:

Für

n λ > 30

P (\frac{x - z_{\frac{α}{2}} \sqrt{x}}{n} < λ < \frac{x + z_{\frac{α}{2}} \sqrt{x}}{n}) = 1 - α

...relativ zu

\frac{x}{n} :

P (\frac{x}{n} \cdot (1 - \frac{z_{\frac{α}{2}}}{\sqrt{x}}) < λ < \frac{x}{n} \cdot (1 + \frac{z_{\frac{α}{2}}}{\sqrt{x}})) = 1 - α

dann ist das halbe Konfidenzinterval relativ zu

\frac{x}{n}

also

δ = \frac{z_{\frac{α}{2}}}{\sqrt{x}}

D . h

. ich benätige

x

Events um das geforderte

δ

zu beobachten:

x = {(\frac{z_{\frac{α}{2}}}{δ})}^{2}

mit

n = \frac{x}{λ}

ergibt sich dann mein ursprüngliche Grundgesamtheit:

n = {(\frac{z_{\frac{α}{2}}}{δ})}^{2} \cdot \frac{1}{λ}

timjon aktiv_icon

14:12 Uhr, 05.03.2019

Hat noch jemand eine Idee?

Danke
Tim

HAL9000

14:24 Uhr, 05.03.2019

Deinem vorletzten Beitrag kann man zumindest zur Frage "Notwendig WOFÜR EIGENTLICH?" ein paar Informationen entnehmen, die im Eröffnungsbeitrag schmerzlich fehlen:

Anscheinend willst du zu einem vorgegenen Signifikanzniveau

1 - α

des Konfidenzintervalls gewisser Verteilungsparameter wissen, wie groß die Stichprobe sein muss damit dieses Konfidenzintervall eine gewisse vorgegebene Breite

2 δ

nicht überschreitet.

Ist es das, was du mit "notwendig" meinst?

timjon aktiv_icon

14:59 Uhr, 05.03.2019

Richtig das meine ich.

Was ich nun nicht verstehe ist der große Unterschied, der sich für

n

zwischen Binomial- und Poissonverteilung ergeben würde (da

λ

in der Regel sehr klein ist und damit

\frac{1}{λ}

sehr viel größer als

p \cdot (1 - p))

HAL9000

15:31 Uhr, 05.03.2019

> dann ist das halbe Konfidenzintervall relativ zu

\frac{x}{n}

also

δ = \frac{z_{\frac{α}{2}}}{\sqrt{x}}

Kann nicht nachvollziehen, was du da tust. Die halbe Konfidenzintervallbreite ist

\frac{z \sqrt{x}}{n}

, und die wird gleich

δ

gesetzt. Zusammen mit

x = λ n

(richtiger wäre

x = \hat{λ} n

) ergibt das

\frac{z \sqrt{λ n}}{n} = δ

, umgestellt nach

n

dann

n = {(\frac{z}{δ})}^{2} λ

timjon aktiv_icon

16:08 Uhr, 05.03.2019

Was du schreibst ist genau das wo ich hänge...auf deine Vorschrift mit

λ

im Zähler komme ich auch. Das zahlenmäßige Ergebnis für

n

ist so aber unplausibel wenn ich gängige Werte für

λ

einsetze...für mein Problem im Bereich

λ = 1 \cdot 10^{- 7}

. Intuitiv müsste

n

aber sehr groß werden.

Ich habe auch die Herleitung aus meinem Buch angehängt. Aber selbst wenn diese Herleitung stimmt fehlt mir der Zusammenhang zur Binomialverteilung.

HAL9000

16:36 Uhr, 05.03.2019

Dann müssen wir wohl erstmal klären, was du unter einer Poisson-Verteilung mit Parameter

λ

verstehest:

Nach allgemeinem und auch meinem Verständnis ist das

P (X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}

für

k = 0, 1, \dots

.

Ein so unfassbar kleiner Parameter wie

λ = 1 \cdot 1 0^{- 7}

bedeutet dann, dass in einer Stichprobe von sagen wir mal

n = 1 0^{6}

Werten mit einer Wahrscheinlichkeit von über 90% ALLE Stichprobenwerte gleich 0 sind - ist es wirklich das, was du meinst??? Kann ich mir kaum vorstellen.

P.S.: Und falls es aber doch so gemeint ist:

Da

λ

so extrem klein ist, muss natürlich auch

δ

sehr klein gewählt werden (etwa in der Größenordnung von

λ

selbst), damit überhaupt noch irgendeine vernünftige Aussage zustande kommt. Was wiederum zu einem großen

n

führt.

timjon aktiv_icon

16:48 Uhr, 05.03.2019

Richtig, doch, das meine ich. Wir können auch mit ein

λ

von

1 \cdot 10^{- 3}

annehmen.

In meinem Kopf passen dann die Binomialformel und die Poissonformel immer noch nicht zusammen...stehe grade wohl ziemlich auf dem Schlauch

HAL9000

16:53 Uhr, 05.03.2019

Ich sehe da keinen Widerspruch (siehe das P.S. von meinem letzten Beitrag).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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