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Stichprobenvarianz

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Zufallsvariablen

Tags: Stichprobenvarianz, Zufallsvariablen

 
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TopProtet

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11:52 Uhr, 15.10.2021

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Es seien X1,...,Xn i.i.d. normalverteilt N(µ , σ^2). Finden Sie eine Funktion g(S2) der Stichprobenvarianz, die die Bedingung Eg(S^2)=σ erfüllt. (Hinweis: versuchen Sie g(s2)= c√S^2 , mit einer Konstanten c).

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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HAL9000

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11:58 Uhr, 15.10.2021

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Die Aufgabe ist heftig, und die Rechnung etwas länger. Das Ergebnis kann man in der Wikipedia nachlesen:

de.wikipedia.org/wiki/Stichprobenvarianz_(Sch%C3%A4tzfunktion)#Berechnungsgrundlagen

Wie dort angedeutet, läuft der Beweis über die Chi-Quadratverteilung der (skalierten) Varianz.
TopProtet

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10:06 Uhr, 16.10.2021

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Ich habe folgende Lösung gefunden, steige aber schon beim ersten Schritt aus. Wie kommt man auf diesen Erwartungswert?

5.13
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

08:51 Uhr, 17.10.2021

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Grundlage ist die Chiquadratverteilung: Deren Dichte bei m Freiheitsgraden ist

fm(q)=12m2Γ(m2)qm2-1exp(-q2) für q>0.

Da das Integral über die Dichte gleich 1 sein muss, bedeutet das die Gleichung

0qm2-1exp(-q2)dq=2m2Γ(m2)(*).

Im obigen Beweis wird nun genutzt, dass die Zufallsgröße Y:=S2(n-1)σ2 eine Chiquadratverteilung mit (n-1) Freiheitsgraden aufweist, daher gilt für den Erwartungswert der Wurzel

E[Y]=0qfn-1(q)dq=0q1212n-12Γ(n-12)qn-12-1exp(-q2)dq
=12n-12Γ(n-12)0qn2-1exp(-q2)dq

Zur Berechnung dieses Integrals wird nun schlicht wieder (*) genutzt, diesmal aber mit m=n (statt mit m=n-1 wie bei der Dichte).

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