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Stichprobenvarianz

Universität / Fachhochschule

11:52 Uhr, 15.10.2021

Es seien X1,...,Xn

i . i . d

. normalverteilt N(µ , σ^2). Finden Sie eine Funktion

g (S^{2})

der Stichprobenvarianz, die die Bedingung Eg(S^2)=σ erfüllt. (Hinweis: versuchen Sie

g (s^{2}) =

c√S^2 , mit einer Konstanten

c)

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

11:58 Uhr, 15.10.2021

Die Aufgabe ist heftig, und die Rechnung etwas länger. Das Ergebnis kann man in der Wikipedia nachlesen:

de.wikipedia.org/wiki/Stichprobenvarianz_(Sch%C3%A4tzfunktion)#Berechnungsgrundlagen

Wie dort angedeutet, läuft der Beweis über die Chi-Quadratverteilung der (skalierten) Varianz.

10:06 Uhr, 16.10.2021

Ich habe folgende Lösung gefunden, steige aber schon beim ersten Schritt aus. Wie kommt man auf diesen Erwartungswert?

08:51 Uhr, 17.10.2021

Grundlage ist die Chiquadratverteilung: Deren Dichte bei

m

Freiheitsgraden ist

f_{m} (q) = \frac{1}{2^{\frac{m}{2}} Γ (\frac{m}{2})} \cdot q^{\frac{m}{2} - 1} \exp (- \frac{q}{2})

für

q > 0

.

Da das Integral über die Dichte gleich 1 sein muss, bedeutet das die Gleichung

\int_{0}^{\infty} q^{\frac{m}{2} - 1} \exp (- \frac{q}{2}) d q = 2^{\frac{m}{2}} Γ (\frac{m}{2}) (*)

.

Im obigen Beweis wird nun genutzt, dass die Zufallsgröße

Y := \frac{S^{2} \cdot (n - 1)}{σ^{2}}

eine Chiquadratverteilung mit

(n - 1)

Freiheitsgraden aufweist, daher gilt für den Erwartungswert der Wurzel

E [\sqrt{Y}] = \int_{0}^{\infty} \sqrt{q} \cdot f_{n - 1} (q) d q = \int_{0}^{\infty} q^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{n - 1}{2}} Γ (\frac{n - 1}{2})} \cdot q^{\frac{n - 1}{2} - 1} \exp (- \frac{q}{2}) d q

= \frac{1}{2^{\frac{n - 1}{2}} Γ (\frac{n - 1}{2})} \cdot \int_{0}^{\infty} q^{\frac{n}{2} - 1} \exp (- \frac{q}{2}) d q

Zur Berechnung dieses Integrals wird nun schlicht wieder (*) genutzt, diesmal aber mit

m = n

(statt mit

m = n - 1

wie bei der Dichte).

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