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Stimmt meine vollst. Induktion?

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktion

 
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erasmus

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17:54 Uhr, 24.10.2023

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Aufgabe:

Jede natürliche Zahl n ∈ N mit n ungleich 1 hat einen Vorgänger m ∈ N mit m+1=n

Um zu beweisen, dass jede natürliche Zahl n ∈ N (wobei n ungleich 1) einen Vorgänger m ∈ N hat, für den m+1=n gilt, können wir dies durch vollständige Induktion zeigen. Der Beweis gliedert sich in zwei Schritte: Basisfall und Induktionsschritt.

Basisfall: Zeigen wir zuerst, dass die Aussage für n=2 wahr ist. In diesem Fall ist n=2, und wir müssen zeigen, dass es eine natürliche Zahl m gibt, für die m+1=2. Die einzige solche Zahl ist m=1, und sie erfüllt die Bedingung m+1=2. Der Basisfall ist also bewiesen.

Induktionsschritt: Angenommen, die Aussage gilt für eine natürliche Zahl k,d.h., es gibt eine natürliche Zahl m, für die m+1=k. Wir müssen zeigen, dass die Aussage dann auch für k+1 gilt, d.h., es gibt eine natürliche Zahl p, für die p+1=k+1.

Nach unserer Annahme gibt es eine natürliche Zahl m, für die m+1=k. Um den Induktionsschritt abzuschließen, können wir m verwenden, um p zu definieren. Wir setzen p=m+1. Nun müssen wir zeigen, dass p+1=k+1:

p+1=(m+1)+1=m+2

Aber wir wissen, dass m+1=k, also m=k-1. Setzen wir dies ein:

p+1=(k-1)+2=k+1

Da p+1=k+1, haben wir gezeigt, dass die Aussage für k+1 gilt.

Da wir den Basisfall und den Induktionsschritt gezeigt haben, schließen wir, dass für jede natürliche Zahl n ∈ N(n ungleich 1) einen Vorgänger m ∈ N gibt, für den m+1=n gilt. Dies zeigt, dass die Aussage durch vollständige Induktion bewiesen ist.


Stimmt diese Lösung?

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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

13:37 Uhr, 25.10.2023

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Hallo,

im Prinzip richtig, würde ich sagen.

Allerdings würde ich nicht von der Subtraktion Gebrauch machen (m=k-1). Denn am Anfang der Einführung der natürlichen Zahlen ist dies ja nicht definiert. Aber Du warst ja ohnehin schon eine Zeile vorher fertig durch

p+1=(m+1)+1=k+1
Antwort
HJKweseleit

HJKweseleit aktiv_icon

17:37 Uhr, 25.10.2023

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Mitten durch die Brust ins Auge...

Geht es nicht viel einfacher?

Induktionsschritt:

Zu k gibt es laut Voraussetzung einen Vorgänger m, so dass k = m+1 ist. (Diese Voraussetzung brauchen wir gar nicht, denn:-) Dann hat auch k+1 einen Vorgänger, nämlich k, denn k+1=(k)+1.

Das wars.
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