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Stirling-Zahlen

Universität / Fachhochschule

Rekursives Zählen

Tags: Rekursives Zählen, Stirling Zahl

Piepo aktiv_icon

14:04 Uhr, 03.10.2021

Hi,

ich bin im Studium über die Frage gestolpert, ob für Stirling Zahlen erster und zweiter Art immer gilt, dass

s_{n, k} \geq S_{n, k}

für alle n,k

\in

ℕ

und

n \geq k

.

Danke für Lösungen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Kartoffelchipsman aktiv_icon

02:41 Uhr, 04.10.2021

Rekursionsformel für SZ2:

S_{m, m} = 1 \forall m \geq 0,

S_{m, 0} = 0 \forall m \geq 1,

S_{m + 1, k + 1} = S_{m, k} + (k + 1) \cdot S_{m, k + 1} \forall m \geq 1, 0 \leq k < m

.

Rekursionsformel für SZ1:

s_{m, m} = 1 \forall m \geq 0,

s_{m, 0} = 0 \forall m \geq 1,

s_{m + 1, k + 1} = s_{m, k} + m \cdot s_{m, k + 1} \forall m \geq 1, 0 \leq k < m

.

Somit

s_{m, k} \geq S_{m, k}

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Piepo aktiv_icon

08:24 Uhr, 04.10.2021

Vielen Dank! Sowas ähnliches habe ich mir auch schon gedacht.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

10:32 Uhr, 04.10.2021

Ja, genauer wegen

m \geq k + 1

.

Man kann es auch lyrisch lösen:

S_{m, k}

zählt Partitionen und diese werden
für

s_{m, k}

nun noch mit zyklischen Ordnungen
auf den Teilmengen versehen.

Wieder ist M. Junkers Diskrete algebraische Strukturen
das Skript der Stunde.

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