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Stirling Zahlen - Induktion

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Tags: Induktion, Stirling Zahl

 
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anonymous

anonymous

11:33 Uhr, 27.11.2022

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Induktionsanfang habe ich geschafft, aber beim Induktionsschritt habe ich schwierigkeiten. Mein Plan wäre, dass xn+1 das selbe wie xn+x ist und xn ist uns bekannt, aber ich weiß wie ich beim Foto die zweite Formel umschreiben soll, deshalb bitte ich um Hilfe


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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Punov

Punov aktiv_icon

12:00 Uhr, 27.11.2022

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Hallo, xx33xx44!

Könntest du bitte genau aufschreiben, was du zeigen möchtest? Es ist ein bisschen schwierig, das aus deiner Frage herauszulesen.

Viele Grüße

anonymous

anonymous

12:21 Uhr, 27.11.2022

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Klar, ich hoffe jetzt ist es besser

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Punov

Punov aktiv_icon

12:58 Uhr, 27.11.2022

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Hallo,

ich schreibe die Stirlingzahl mal als Sn,k.

Die Induktionsannahme ist

xn=k=1nSn,kxk¯

und jetzt willst du zeigen, dass die Aussage auch für n+1 gilt, also mach den Ansatz

xn+1=xnx=k=1nSn,kxk¯x,

wobei die zweite Gleichheit eben gerade die Induktionsannahme ist, und versuche, ob du das jetzt so umformen kannst, dass du am Ende bei

k=1n+1Sn+1,kxk¯

landest.


Viele Grüße


anonymous

anonymous

13:11 Uhr, 27.11.2022

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Ja danke, bis dahin bin ich auch gekommen, habe nur schwierigkeiten das Umzuformen
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Punov

Punov aktiv_icon

13:20 Uhr, 27.11.2022

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Hallo,

ok, dann beachte, dass

xxk¯=xk+1¯+kxk¯

sowie

Sn+1,k=kSn,k+Sn,k-1.


Viele Grüße
anonymous

anonymous

13:26 Uhr, 27.11.2022

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Okay, bin jetzt bis da hin gekommen (siehe Foto), aber da sehe ich nichts mehr, was man kürzen könnte. Sorry, stelle mich da wirklich dumm an

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Punov

Punov aktiv_icon

14:01 Uhr, 27.11.2022

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Hallo,

xk=1nSn,kxk¯=k=1nSn,k(xk+1¯+kxk¯)=k=1nSn,kxk+1¯+k=1nSn,kkxk¯

Jetzt verschiebe den Index in der ersten Summe, =k+1, dann


k=1nSn,kxk+1¯+k=1nSn,kkxk¯==2n+1Sn,-1x¯+k=1nSn,kkxk¯.

Wegen Sn,0=Sn,n+1=0 gilt

=2n+1Sn,-1x¯==1n+1Sn,-1x¯,

sowie

k=1nSn,kkxk¯=k=1n+1Sn,kkxk¯.

Also bekommst du

xk=1nSn,kxk¯==1n+1Sn,-1x¯+k=1n+1Sn,kkxk¯=k=1n+1(kSn,k+Sn,k-1)xk¯=k=1n+1Sn+1,kxk¯,

wobei die letzte Gleichheit gilt wegen Sn+1,k=kSn,k+Sn,k-1.



Viele Grüße



Frage beantwortet
anonymous

anonymous

14:12 Uhr, 27.11.2022

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Vielen viele. Dank, darauf wäre ich wahrscheinlich nie gekommen, aber erscheint sinnvoll