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Stirling Zahlen - Induktion

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Tags: Induktion, Stirling Zahl

anonymous

11:33 Uhr, 27.11.2022

Induktionsanfang habe ich geschafft, aber beim Induktionsschritt habe ich schwierigkeiten. Mein Plan wäre, dass

x^{n} + 1

das selbe wie

x^{n} + x

ist und

x^{n}

ist uns bekannt, aber ich weiß wie ich beim Foto die zweite Formel umschreiben soll, deshalb bitte ich um Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:00 Uhr, 27.11.2022

Hallo, xx33xx44!

Könntest du bitte genau aufschreiben, was du zeigen möchtest? Es ist ein bisschen schwierig, das aus deiner Frage herauszulesen.

Viele Grüße

anonymous

12:21 Uhr, 27.11.2022

Klar, ich hoffe jetzt ist es besser

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12:58 Uhr, 27.11.2022

Hallo,

ich schreibe die Stirlingzahl mal als

S_{n, k}

.

Die Induktionsannahme ist

x^{n} = \sum_{k = 1}^{n} S_{n, k} x^{\underline{k}}

und jetzt willst du zeigen, dass die Aussage auch für

n + 1

gilt, also mach den Ansatz

x^{n + 1} = x^{n} \cdot x = \sum_{k = 1}^{n} S_{n, k} x^{\underline{k}} \cdot x

,

wobei die zweite Gleichheit eben gerade die Induktionsannahme ist, und versuche, ob du das jetzt so umformen kannst, dass du am Ende bei

\sum_{k = 1}^{n + 1} S_{n + 1, k} x^{\underline{k}}

landest.

Viele Grüße

anonymous

13:11 Uhr, 27.11.2022

Ja danke, bis dahin bin ich auch gekommen, habe nur schwierigkeiten das Umzuformen

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13:20 Uhr, 27.11.2022

Hallo,

ok, dann beachte, dass

x \cdot x^{\underline{k}} = x^{\underline{k + 1}} + k \cdot x^{\underline{k}}

sowie

S_{n + 1, k} = k \cdot S_{n, k} + S_{n, k - 1}

.

Viele Grüße

anonymous

13:26 Uhr, 27.11.2022

Okay, bin jetzt bis da hin gekommen (siehe Foto), aber da sehe ich nichts mehr, was man kürzen könnte. Sorry, stelle mich da wirklich dumm an

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14:01 Uhr, 27.11.2022

Hallo,

x \sum_{k = 1}^{n} S_{n, k} x^{\underline{k}} = \sum_{k = 1}^{n} S_{n, k} (x^{\underline{k + 1}} + k x^{\underline{k}}) = \sum_{k = 1}^{n} S_{n, k} x^{\underline{k + 1}} + \sum_{k = 1}^{n} S_{n, k} k x^{\underline{k}}

Jetzt verschiebe den Index in der ersten Summe,

ℓ = k + 1

, dann

\sum_{k = 1}^{n} S_{n, k} x^{\underline{k + 1}} + \sum_{k = 1}^{n} S_{n, k} k x^{\underline{k}} = \sum_{ℓ = 2}^{n + 1} S_{n, ℓ - 1} x^{\underline{ℓ}} + \sum_{k = 1}^{n} S_{n, k} k x^{\underline{k}}

.

Wegen

S_{n, 0} = S_{n, n + 1} = 0

gilt

\sum_{ℓ = 2}^{n + 1} S_{n, ℓ - 1} x^{\underline{ℓ}} = \sum_{ℓ = 1}^{n + 1} S_{n, ℓ - 1} x^{\underline{ℓ}}

,

sowie

\sum_{k = 1}^{n} S_{n, k} k x^{\underline{k}} = \sum_{k = 1}^{n + 1} S_{n, k} k x^{\underline{k}}

.

Also bekommst du

x \sum_{k = 1}^{n} S_{n, k} x^{\underline{k}} = \sum_{ℓ = 1}^{n + 1} S_{n, ℓ - 1} x^{\underline{ℓ}} + \sum_{k = 1}^{n + 1} S_{n, k} k x^{\underline{k}} = \sum_{k = 1}^{n + 1} (k S_{n, k} + S_{n, k - 1}) x^{\underline{k}} = \sum_{k = 1}^{n + 1} S_{n + 1, k} x^{\underline{k}}

,

wobei die letzte Gleichheit gilt wegen

S_{n + 1, k} = k S_{n, k} + S_{n, k - 1}

.

Viele Grüße

anonymous

14:12 Uhr, 27.11.2022

Vielen viele. Dank, darauf wäre ich wahrscheinlich nie gekommen, aber erscheint sinnvoll

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