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Stochast. Unabh. Beispiel Flugzeug

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

Theend92 aktiv_icon

16:03 Uhr, 11.11.2012

Einen wunderschönen Guten Tag,
ich habe wieder mal eine Frage bzgl. der Mathematik diesmal in Stochastik.
Folgende Aufgabe:
Für Transatlantikflüge stehen Flugzeuge mit 4 und mit 2 Triebwerken zur Verfügung. Während eines Fluges fallen die Triebwerke (stochastisch) unabhängig voneinander, jeweils mit der Warscheinlichkeit

p

aus. Das Flugzeug kann sicher landen, wenn mindestens die Hälfte der Triebwerke arbeiten. Sind die Flugzeuge mit 2 oder die mit 4 Triebwerken sicherer??

Also ich habe mir eine vorüberlegung gemacht, dass das Triebwerk mit

p

ausfällt und mit

1 - p

nicht ausfällt..
Nun weiß ich aber nicht wie ich anfangen soll .. kann mir jemand einen Tipp geben?

Für die stochast. Unabh. gilt ja

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

in meinem Fall ist dann A das Ereignis für Ausfall und

B

das

(1 - p)

Ereignis also für nicht ausfall ..
lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Capricorn-01 aktiv_icon

16:45 Uhr, 11.11.2012

Hallo,
Flugzeug mit 2 Triebwerken:
Die Wahrscheinlichkeit, dass das 1. Triebwerk ausfällt ist

p

.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das 2. Triebwerk ausfällt ist auch

p

.
Damit das Flugzeug am Ziel ankommt, dürfen nicht beide ausfallen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Triebwerke ausfallen ist

p^{2}

.
Die Wahrscheinlichkeit, dass nicht beide Triebwerke ausfallen ist

1 - p^{2}

.

Flugzeug mit 4 Triebwerken:
Damit das Flugzeug am Ziel ankommt, dürfen nicht mindestens 3 Triebwerke ausfallen (=weder 3 noch

4)

.
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Triebwerke ausfallen ist

p^{4}

.
Die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Triebwerke ausfallen ist gemäss Herr Bernoulli

(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot p^{3} \cdot (1 - p) = 4 \cdot (p^{3} - p^{4})

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Triebwerke ausfallen ist

4 \cdot (p^{3} - p^{4}) + p^{4} = 4 p^{3} - 3 p^{4}

Die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mindestens 3 Triebwerke ausfallen ist

1 - 4 p^{3} + 3 p^{4}

.

Jetzt muss man diese beiden Wahrscheinlichkeiten noch miteinander vergleichen:
Wenn

1 - p^{2} - (1 - 4 p^{3} + 3 p^{4})

für

p < 1

grösser 0 ist, ist das Flugzeug mit 2 Triebwerken sicherer. Wir bestimmen die Nullstellen:

4 p^{3} - 3 p^{4} - p^{2} = 0

- 3 p^{2} + 4 p - 1 = 0

x_{1} = \frac{1}{3}

x_{2} = 1

Für

0 < p < \frac{1}{3}

sind Flugzeuge mit 4 Triebwerken sicherer, währen für

\frac{1}{3} < p < 1

Flugzeuge mit 2 Triebwerken sicherer sind.
Für

p = \frac{1}{3}

sind beide gleich sicher.

LG

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