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Stochastik

Universität / Fachhochschule

Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

 
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JaBaa

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19:13 Uhr, 01.09.2019

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Hallo gleich noch eine Frage,

Auf zwei Urnen werden 5 weiße und 5 rote Kugeln beliebig verteilt. Anschließend wrd eine Urne ausgewählt und aus ihr eine Kugel gezogen.Untersuchen sie, bei welcher Verteilung die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel besonders groß(klein) ist.


So mein Gedanke dazu: In Urne 1 wird eine rote Kugel reingemacht. In Urne 2 der Rest. Dann wäre die Wahrscheinlchkeit ene rote Kugel zu ziehen bei 0,72 und meiner Meinung die größte Chance auf eine rote Kugel. Nun weiß ich aber nicht ob ich dieser Fall die größte Wahrscheinlchkeit für eine rote Kugel bringt. Wie zeigt man es mathematisch richtig ?





Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
abakus

abakus

20:29 Uhr, 01.09.2019

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Löse es allgemein. Die "linke" Urne enthält r rote Kugeln und w weiße Kugeln.
Die rechte Urne enthält dann 5-r rote Kugeln und 5-w weiße Kugeln.
Drücke unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit zum Ziehen von rot als Funktion von r und w aus und bestimme das globale Maximum. (Der Definitionsbereich besteht für beide Variablen nur aus den ganzen Zahlen 0 bis 5).
JaBaa

JaBaa aktiv_icon

21:44 Uhr, 01.09.2019

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okay ist die Forel erst mal richtig ?

w(r)=(12)rs+r+(12)5-r(5-r)+(5-s)

Antwort
pivot

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22:02 Uhr, 01.09.2019

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Meiner Meinung nach, ja. Ich hatte es auch so. Ich konnte nur nicht das Maximum ermitteln.
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Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

23:38 Uhr, 01.09.2019

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Hallo,

ich gehe davon aus, dass die Behälter zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden.
Dann kann ich die Wahrscheinlichkeit deines Vorschlags durch

1211+1249=12+418=9+418=1318=0,722222...

erstmal bestätigen.

Allgemein haben wir für 0r,w5 mit nicht (r,w)=(0,5) oder (r,w)=(5,0) als Wahrscheinlichkeit

12(rr+5-w)+12(5-r5-r+w)

=12(rr+5-w+5-r5-r+w)

=12(rr+5-w+1-w5-r+w)

=12+12(rr+5-w-w5-r+w)

=12+12(r5-(w-r)-w5+(w-r))

=12+12(w+r-5)(w-r)25-(w-r)2

=12+12(2w-5)(w-r)-(w-r)225-(w-r)2   (☆)

und für (r,w)=(0,5) oder (r,w)=(5,0)

noch die Wahrscheinlichkeit 14.


(☆) liefert nun

((w-r)>0(2w-5)(w-r)-(w-r)2>0)w>5-rr>0,

((w-r)<0(2w-5)(w-r)-(w-r)2>0)w<5-rr<5.

Das ist mein Stand der Ermittlungen.

Intuitiv kann man auch schon erahnen,

dass w-r maximal sein sollte, also w=5 und r=1.







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Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

00:17 Uhr, 02.09.2019

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Ein Biest...



Screenshot_2019-09-02-01-51-18
WerteMatrix
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:03 Uhr, 02.09.2019

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Ok, allgemein n rote und n weiße Kugeln, von denen man r rote und w weiße Kugeln für die erste Urne auswählt, mit 1r+w2n-1.

p(r,w)=12(rr+w+n-r2n-r-w) ist dann die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl einer roten Kugel.

Wir haben die Symmetrie p(r,w)=p(n-r,n-w), sowie p(r,r)=12 für 1rn-1. Es reicht also 0w<rn zu untersuchen, und dort schätzen wir ab

p(r,w)=12(rr+w+12-r-w2(2n-r-w))12(1+12-12(2n-1))=34-14(2n-1),

bei letzteres Abschätzung geht r-w1 und 2n-r-w2n-1 ein. Gleichheit wird in dieser Abschätzung für r=1,w=0 erreicht.


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Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

12:35 Uhr, 02.09.2019

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Geilomatico, vielen Dank, HAL !

Ich möchte deine Ungleichung noch ein wenig erörtern, wie ich sie gerade selbst gelesen und verstanden habe

rr+w soll maximal (=1) sein w=0

und

r-w2(2n-r-w)=r-w20-2(r+w) minimal, also r-w und r+w minimal r=1,w=0.

Coole Sache !



Auch bei mir fehlt eigentlich nur noch die eiskalte Argumentation:

12+12(rr+5-w-w5-r+w)   (die vierte von oben)

liefert

(1)     rr+5-w maximal (=1 und insbesondere>0) w=5,r>0

(2)     w5-r+w minimal r=1

Würde man w<5 wählen, um (2) auf Kosten von (1) zu trimmen,

bedeutet das für (1) mit k=5-w eine Abnahme von

1-11+k=k1+k

und für (2) eine Abnahme von

59-5-k9-k=5(9-k)-9(5-k)9(9-k)=4k81-9k

Es gilt aber

k1+k>4k81-9k



81k-9k2>4k+4k2



77>13k.



Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

18:03 Uhr, 02.09.2019

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Hier nochmal meine Version an einem Stück...

Zwei Urnen
Frage beantwortet
JaBaa

JaBaa aktiv_icon

19:28 Uhr, 02.09.2019

Antworten


Vielen Dank für eure Hilfe. Habt mir sehr gut geholfen. Hoffentlich werde ich auch mal so gut wie ihr und kann mich dann im Forum bei jemand anderem revangieren. :-)
Frage beantwortet
JaBaa

JaBaa aktiv_icon

19:35 Uhr, 02.09.2019

Antworten


Vielen Dank für eure Hilfe. Habt mir sehr gut geholfen. Hoffentlich werde ich auch mal so gut wie ihr und kann mich dann im Forum bei jemand anderem revangieren. :-)