Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Stochastik

Stochastik

Universität / Fachhochschule

Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

JaBaa aktiv_icon

19:13 Uhr, 01.09.2019

Hallo gleich noch eine Frage,

Auf zwei Urnen werden 5 weiße und 5 rote Kugeln beliebig verteilt. Anschließend wrd eine Urne ausgewählt und aus ihr eine Kugel gezogen.Untersuchen sie, bei welcher Verteilung die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel besonders groß(klein) ist.

So mein Gedanke dazu: In Urne 1 wird eine rote Kugel reingemacht. In Urne 2 der Rest. Dann wäre die Wahrscheinlchkeit ene rote Kugel zu ziehen bei

0,72

und meiner Meinung die größte Chance auf eine rote Kugel. Nun weiß ich aber nicht ob ich dieser Fall die größte Wahrscheinlchkeit für eine rote Kugel bringt. Wie zeigt man es mathematisch richtig ?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführung
Bedingte Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten

abakus

20:29 Uhr, 01.09.2019

Löse es allgemein. Die "linke" Urne enthält r rote Kugeln und w weiße Kugeln.
Die rechte Urne enthält dann 5-r rote Kugeln und 5-w weiße Kugeln.
Drücke unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit zum Ziehen von rot als Funktion von r und w aus und bestimme das globale Maximum. (Der Definitionsbereich besteht für beide Variablen nur aus den ganzen Zahlen 0 bis 5).

JaBaa aktiv_icon

21:44 Uhr, 01.09.2019

okay ist die Forel erst mal richtig ?

w (r) = (\frac{1}{2}) \cdot \frac{r}{s + r} + (\frac{1}{2}) \cdot \frac{5 - r}{(5 - r) + (5 - s)}

pivot aktiv_icon

22:02 Uhr, 01.09.2019

Meiner Meinung nach, ja. Ich hatte es auch so. Ich konnte nur nicht das Maximum ermitteln.

anonymous

23:38 Uhr, 01.09.2019

Hallo,

ich gehe davon aus, dass die Behälter zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden.
Dann kann ich die Wahrscheinlichkeit deines Vorschlags durch

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{2} + \frac{4}{18} = \frac{9 + 4}{18} = \frac{13}{18} = 0,722222 . .

.

erstmal bestätigen.

Allgemein haben wir für

0 \leq r, w \leq 5

mit nicht

(r, w) = (0,5)

oder

(r, w) = (5,0)

als Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{2} \cdot (\frac{r}{r + 5 - w}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{5 - r}{5 - r + w})

= \frac{1}{2} \cdot (\frac{r}{r + 5 - w} + \frac{5 - r}{5 - r + w})

= \frac{1}{2} \cdot (\frac{r}{r + 5 - w} + 1 - \frac{w}{5 - r + w})

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{r}{r + 5 - w} - \frac{w}{5 - r + w})

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{r}{5 - (w - r)} - \frac{w}{5 + (w - r)})

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(w + r - 5) \cdot (w - r)}{25 - {(w - r)}^{2}}

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(2 \cdot w - 5) \cdot (w - r) - {(w - r)}^{2}}{25 - {(w - r)}^{2}}

(☆)

und für

(r, w) = (0,5)

oder

(r, w) = (5,0)

noch die Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{4}

.

(☆) liefert nun

((w - r) > 0 \land (2 \cdot w - 5) \cdot (w - r) - {(w - r)}^{2} > 0) \Rightarrow w > 5 - r \Rightarrow r > 0,

((w - r) < 0 \land (2 \cdot w - 5) \cdot (w - r) - {(w - r)}^{2} > 0) \Rightarrow w < 5 - r \Rightarrow r < 5

.

Das ist mein Stand der Ermittlungen.

Intuitiv kann man auch schon erahnen,

dass

w - r

maximal sein sollte, also

w = 5

und

r = 1

anonymous

00:17 Uhr, 02.09.2019

Ein Biest...

HAL9000

10:03 Uhr, 02.09.2019

Ok, allgemein

n

rote und

n

weiße Kugeln, von denen man

r

rote und

w

weiße Kugeln für die erste Urne auswählt, mit

1 \leq r + w \leq 2 n - 1

p (r, w) = \frac{1}{2} (\frac{r}{r + w} + \frac{n - r}{2 n - r - w})

ist dann die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl einer roten Kugel.

Wir haben die Symmetrie

p (r, w) = p (n - r, n - w)

, sowie

p (r, r) = \frac{1}{2}

für

1 \leq r \leq n - 1

. Es reicht also

0 \leq w < r \leq n

zu untersuchen, und dort schätzen wir ab

p (r, w) = \frac{1}{2} (\frac{r}{r + w} + \frac{1}{2} - \frac{r - w}{2 (2 n - r - w)}) \leq \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 n - 1)}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4 (2 n - 1)}

,

bei letzteres Abschätzung geht

r - w \geq 1

und

2 n - r - w \leq 2 n - 1

ein. Gleichheit wird in dieser Abschätzung für

r = 1, w = 0

erreicht.

anonymous

12:35 Uhr, 02.09.2019

Geilomatico, vielen Dank, HAL !

Ich möchte deine Ungleichung noch ein wenig erörtern, wie ich sie gerade selbst gelesen und verstanden habe

\frac{r}{r + w}

soll maximal

(= 1)

sein

\Rightarrow w = 0

und

\frac{r - w}{2 \cdot (2 \cdot n - r - w)} = \frac{r - w}{20 - 2 \cdot (r + w)}

minimal, also

r - w

und

r + w

minimal

\Rightarrow r = 1, w = 0

.

Coole Sache !

Auch bei mir fehlt eigentlich nur noch die eiskalte Argumentation:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{r}{r + 5 - w} - \frac{w}{5 - r + w})

(die vierte von oben)

liefert

(1)

\frac{r}{r + 5 - w}

maximal

(= 1

und insbesondere>0)

\Rightarrow w = 5, r > 0

(2)

\frac{w}{5 - r + w}

minimal

\Rightarrow r = 1

Würde man

w < 5

wählen, um

(2)

auf Kosten von

(1)

zu trimmen,

bedeutet das für

(1)

mit

k = 5 - w

eine Abnahme von

1 - \frac{1}{1 + k} = \frac{k}{1 + k}

und für

(2)

eine Abnahme von

\frac{5}{9} - \frac{5 - k}{9 - k} = \frac{5 \cdot (9 - k) - 9 \cdot (5 - k)}{9 \cdot (9 - k)} = \frac{4 \cdot k}{81 - 9 \cdot k}

Es gilt aber

\frac{k}{1 + k} > \frac{4 \cdot k}{81 - 9 \cdot k}

\Rightarrow

81 \cdot k - 9 \cdot k^{2} > 4 \cdot k + 4 \cdot k^{2}

\Rightarrow

77 > 13 \cdot k

anonymous

18:03 Uhr, 02.09.2019

Hier nochmal meine Version an einem Stück...

JaBaa aktiv_icon

19:28 Uhr, 02.09.2019

Vielen Dank für eure Hilfe. Habt mir sehr gut geholfen. Hoffentlich werde ich auch mal so gut wie ihr und kann mich dann im Forum bei jemand anderem revangieren. :-)

JaBaa aktiv_icon

19:35 Uhr, 02.09.2019

Vielen Dank für eure Hilfe. Habt mir sehr gut geholfen. Hoffentlich werde ich auch mal so gut wie ihr und kann mich dann im Forum bei jemand anderem revangieren. :-)

1479256

1479197

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?