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Stochastik - Eintreten eines Ereignisses

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Wahrscheinlichkeit

haLfor aktiv_icon

20:25 Uhr, 08.04.2010

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe mit der ich nicht richtig zurecht komme:

Das Eintreten eines Ereignis' hat eine Wahrscheinlichkeit von

90 %

a)Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis mindestens 8 von

10

mal eintritt
b)dass der 8. Versuch das erste Mal ist, dass das Ereignis nicht eintritt
c)Wie oft kann man ein Eintreten des Ereignisses erwarten bei einer Versuchsanzahl von

50;

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis öfter als

40

mal eintritt
d)Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei bei

100

Versuchen das Ereignis öfter als 90-mal eintritt? Welch Anzahl an "Eintreten des Ereignissses" kann man mit

95 %

garantieren?

Ich benötige nicht einmal die komplette Rechnung, ich denke es würde mir schon helfen, wenn Ihr mir die Ansätze für die einzelnen Aufgabenschritte schildert.

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Gruß halfor

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

xenico aktiv_icon

22:22 Uhr, 08.04.2010

Ich würde mir erst einmal vorstellen, wie das aussieht:
Treffer/Nichttreffer? dann einen Schritt weiter, gleiche Frage. Am Ende Multiplizerst du alle Wahrscheinlichkeiten miteinander.

z . B . :

a) {0,10}^{8}

Dove1st aktiv_icon

02:40 Uhr, 09.04.2010

a)

Es liegt eine Bionominalverteilung vor, da es 2 mögliche Ereignisse gibt:

n = 10 p = 0.9 k = 8

Die Formel für genau ein Ereignis ist:

P (X = K) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

Nun einsetzen:

P (X = 8) = (\begin{matrix} 10 \\ 8 \end{matrix}) \cdot 0 . 9^{8} \cdot 0 . 1^{2} = 0.1937102 \approx 19.37 %

b)

Bin mir nicht sicher, aber:
Man könnte ein Baumdiagramm (immer 2 Ereignisse mit den Pfadwahrscheinlichkeiten

0.9

bzw.

0.1)

aufzeichnen, aber der gesuchte Pfad ist recht einfach, denn die ersten 7 Ereignisse haben die Wahrscheinlichkeit von

0.9

und das 8 Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit

0.1

.
Also gilt:

0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 ... ... \cdot 0.1

Bis zum 8. Versuch. Beim 9. und

10

. Versuch gibt es dann wieder unterschiedliche Möglichkeiten: Entweder tritt beim 9. oder beim

10

. Versuch das Ereignis ein.

0 . 9^{7} \cdot 0.1 \cdot 0.9 \cdot 0.1 + 0 . 9^{7} \cdot 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 0.0086093 \approx 0.861 %

Bin mir aber nicht sicher, ob das so richtig ist!

c)

Wieder eine Bionominalverteilung, wie bei

a),

allerdings ist hier die kommulierte Wahrscheinlichkeit gefragt:

n = 50 p = 0.9 k = 40

P (X > 40) = 1 - P (X \leq 40) | 1 - P (x \leq 40)

ist

100 % -

Gegenwahrscheinlichkeit.

Bei der kommulierten Wahrscheinlichkeit muss ich mit der Formel leider passen. Du könntest die Wahrscheinlichkeit in einer Tabelle nachschlagen oder mit einem Taschenrechner ausrechnen:
Befehl: binomcdf(n,p,k))

1-binomcdf(50,0.9,40)=0.9754621

\approx 97,54 %

d)

Gefragt sind 2 Dinge: Zunächst wieder eine kommulierte Wahrscheinlichkeit von über

90

Treffern bei

100

Versuchen:

P (X > 90) = 1 - P (X \leq 90)

1-binomcdf(100,0.9,90)=0.4512902

\approx 45,13 %

Die 2. Frage ist die Frage nach einem

95 %

Vertrauensintervall um den Erwartungswert, wobei nur die untere Grenze von Bedeutung ist:
Da

95 %

der

1,96 σ

Umgebung entspricht, gilt für die

95 %

Umgebung:

μ - 1.96 \cdot σ \leq \frac{X}{n} \leq μ + 1.96 \cdot σ

Mit

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}

und

μ = n \cdot p

und

\frac{X}{n} = \frac{90}{100} = 0.9

100 \cdot p - 1.96 \cdot \sqrt{100 \cdot p \cdot (1 - p)} \leq 0.9 \leq 100 \cdot p + 1.96 \cdot \sqrt{100 \cdot p \cdot (1 - p)}

Nun stellt man einfach 2 Gleichungen für die äußersten Grenzen auf und löst nach

p

auf:

100 \cdot p - 1.96 \cdot \sqrt{100 \cdot p \cdot (1 - p)} = 0.9 \Leftrightarrow p = 0.944771

100 \cdot p + 1.96 \cdot \sqrt{100 \cdot p \cdot (1 - p)} = 0.9 \Leftrightarrow p = 0.825633

Jetzt hast du die Wahrscheinlichkeiten, die bei

100

echten Versuchen mit

95 %

Sicherheit vorkommen können. Dass bei

p = 0.9

also bei

100

echten Versuchen eine Wahrscheinlichkeit von

0.5,

also nur

50

Treffer vorkommen, ist sehr unwahrscheinlich. Denn aus der unteren Grenze geht hervor, dass mit

95 %

Sicherheitswahrscheinlichkeit mindestens

82

Treffer gelandet werden, wenn das Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von

0.9

hat.

Ich hoffe ich konnte dir helfen und der Admin verzeiht mir meine Schlafstörung und löscht nicht meine komplette Lösung, da ich diese nur gebraucht habe, um den Lösungsweg zu erklären.

haLfor aktiv_icon

10:20 Uhr, 09.04.2010

a)

Verstehe ich jetzt: Es gibt also "10 über 8" Möglichkeiten, dass 8 Richtige aus

10

dabei sind und bei den letzten beiden gibt es so gesehen nur 1 Möglichkeit das zu kombinieren.

b)

Glaube ich habe das auch verstanden:
Es gibt genau einen Pfad im Baumdiagramm, der der Anforderung genügt, dass der 8. Versuch der erste Nicht-Treffer ist.
Also:

0 . 9^{7} \cdot 0,1,

wäre für mich dann die richtige Lösung, denn eine Anzahl an weiteren Versuchen ist ja nicht gegeben...

c)

und

d)

hab ich allerdings noch nicht richtig begriffen... Hoffe hier kann mir noch jemand eine kurze Erläuterung geben. Scheint mir so wahnsinnig kompliziert im Vergleich zu den ersten beiden Teilaufgaben.

Danke an Euch für die bisherigen Antworten... habt mir schon weitergeholfen.

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