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Stochastik

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Stochastik

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18:36 Uhr, 16.01.2012

Hallo Leute,

folgende Aufgabe:

Bein Mario liegen 6 schwarze, 2 rote und 4 blaue Socken in einer Schublade des Schrankes durcheinander.

Mario greift ohne hinzuschauen hinein. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er nach drei Versuchen mindestens 2 Socken der gleichen Farbe gezogen hat.

Ich kenne nun die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Socken, aber ich weiß nicht wie ich damit weiter rechnen soll.

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19:21 Uhr, 16.01.2012

niemand ne Idee ´?

vulpi aktiv_icon

20:01 Uhr, 16.01.2012

Hallo !
Das ist ein typisches Beispiel für
"betrachte das Gegenereignis"
Dann wird die Lösung einfacher.

lg

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15:27 Uhr, 17.01.2012

Ich verstehe nicht recht. Tut mir leid.. kannst du mir das irgendwie näher erklären ?

vulpi aktiv_icon

15:43 Uhr, 17.01.2012

Hi,
das Gegenereignis, also die Negation zu E="Mindestens 2 gleicher Farbe" ist doch

\bar{E} =

"3 verschiedene Farben"

Also guck mal zunächst, wie die Wkt dafür ist, die gesuchte ist dann einfach

p (E) = 1 - p (\bar{E})

Ein Pfad zu

\bar{E}

ist zum Beispiel:

1 schwarze ziehen, dann 1 rote, dann 1 blaue

Überleg' die mal für diesen Pfad die Wkt, und dann überleg dir die noch
verbleibenden Pfade...

lg

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18:17 Uhr, 17.01.2012

also d.h. ich muss 1/6 * 1/2 * 1/4 nehmen für ;1 schwarze ziehen, dann 1 rote, dann 1 blaue

vulpi aktiv_icon

21:44 Uhr, 17.01.2012

Nicht ganz, du legst die Kugeln, äh pardon, die Socken ja nicht zurück :-)

hemen23 aktiv_icon

21:53 Uhr, 17.01.2012

hmm ich komme irgendwie einfach nicht drauf, Stochastik ist nicht grad meine Stärke...

Es müssen ja auch mindestens 2 mal die selbe Farbe da sein, muss ich nicht wenn ich zwei mal schwarze socken ziehen will 6/12 * 5/12 * 10/12 rechnen ?? langsam wirds peinlich für mich :)

vulpi aktiv_icon

22:26 Uhr, 17.01.2012

Hi, aber den direkten Weg wollte ich eben ersparen, weil du dann alle
Mehrfachfälle mit mindestens 2 gleichen Farben aufdröseln müßtes, also "Ziehungen" mit

2 s +

nicht

s

3 s

2 r +

nicht

r

2 b +

nicht

b

3 b

Darum mein Verschlag, erst mal das GEGENTEIL davon auszurechnen, dass eben
alle 3 verschiedenfarbig sind.

Zurück zum Pfade beschreiten :

P 1 : s r b \Rightarrow \frac{6}{12} \cdot \frac{2}{11} \cdot \frac{4}{10}

Es gibt aber insegsamt

3!,

nämlich die Anzahl

s, r, b

zu permutieren von diesen Pfaden.
Wie du nachprüfen kannst, ergibt sich auf jedem Weg die gleiche Wkt., weil im Zähler immer

2,4,6

und im Nenner immer

12,11,10

auftauchen.

Ergebnis

P (\bar{E}) = 3! \cdot \frac{6 \cdot 2 \cdot 4}{12 \cdot 11 \cdot 10}

Das GESUCHTE Ereignis ist aber gerade, NICHT bunt

\Rightarrow

P (E) = 1 - P (\bar{E})

Andere Betrachtung:

Zu kannst insgesamt

(\begin{matrix} 12 \\ 3 \end{matrix})

Drillinge zusammenstellen (individuell unterschieden)
Wieviele davon sind bunt?
Ein beliebiger

s

mal 1 beliebiger

r

mal 1 beliebiger

b

Also

z . B

s_{1}, r_{2}, b_{3}

oder

s_{6}, r_{1}, b_{4}

etc,etc, macht:

(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})

günstig/alle

\Rightarrow

\frac{6 \cdot 2 \cdot 4}{(\begin{matrix} 12 \\ 3 \end{matrix})}

Was wiederum obiges

p (\bar{E})

ergibt.

(Siehe bei Gelegenheit mal hypergeometrische Verteilung)

lg

hemen23 aktiv_icon

22:42 Uhr, 17.01.2012

Danke sehr !!!!

also ist das ergebniss:P(E)=1-0,109 =89,1%

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