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Stochastik

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung

MatheMich aktiv_icon

21:09 Uhr, 19.03.2012

Ich habe 2 Fragen, könnte jmd die für mich lösen?? ich brauche die für ne Klausur!!

1)

Von 9 passagieren sind 4 Schmuggler und 5 ehrliche Leute. Ein Zollbeamter wählt 3 Personen aus zur Kontrolle.
a)Beschreiben Sie ein zum obigen Sachverhalt paassendes Ereignis A mit folgender W'keit:

P (A) = \frac{(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})}

2)

Von

20

sektoren eines Glücksrades enthalten zwölf eine

0,

vier eine

1,

drei eine 2 und einer eine 4. Für ein interessanteres Spiel trifft man folgende Vereinbarungen: dreht man eine "1", so muss man noch einmal drehen, insgesamt aber nur zweimal. Als Zufallsgröße legt man fest:"Summe der beim einmaligen oder zweimaligen Drehen erreichten Zahlen". Geben Sie in einer Tabelle die Wahrscheinlichkeit von

X

und den Erwartungswert an.

Ich brauche den Lösungsweg für die 2 und den beschreibenden text für die

1!!

Bitte Helft Mir!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Underfaker aktiv_icon

21:44 Uhr, 19.03.2012

Tja nun, man müsste wissen wofür der Binomialkoeffizient steht.

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \to

wieviele Möglichkeiten gibt es

k

(Dinge) aus

n

auszuwählen.

Hier ist offensichtlich man wählt 3 Personen, im Nenner steht

(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})

also wieviele Möglichkeiten gibt es 3 von den 9 auszuwählen, daran sieht man schon das ist die gesamte Anzahl der Möglichkeitn für das Fundament der Aufgabe.

Zum Zähler:

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \to

Zu welchen Zahlen passt das denn? Welche Möglichkeiten sind das dann?

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \to

hier gibt es zwei Teilmengen, es wird einmal eine Menge ausgewählt und nochmal aus einer anderen Menge und diese kombiniert, wofür steht das denn hier dann?

Dann werden beide Möglichkeiten (Zähler) addiert und durch die Gesamt-Anzahl der Möglichkeiten geteilt, ist eigentlich nicht so schwer, man muss sich nur angucken wozu die Zahlen passen.

2. Versuch erstmal selbst die Wahrscheinlichkeit steht ja schon im Text

0 \to 12

von

20

usw...

PhysMaddin aktiv_icon

21:56 Uhr, 19.03.2012

1)

Es gibt

(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})

Kombinationen, aus neun Personen drei auszuwählen.

Was sagt

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) :=

Anzahl der Kombinationen, aus fünf Personen drei auszuwählen.
nun zu

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})

Wenn von dreien, die Du auswählst, zwei aus der Teilmenge der ehrlichen Passagiere kommen, dann muss einer aus der Menge der Schmuggler stammen.

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})

:=Anzahl der Kombinationen, aus vier Personen eine auszuwählen

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})

:=die Anzahl der Kombinationen, aus fünf Personen zwei auszuwählen

Da diese voneinander abhängig sind, bildet man hier das Produkt

Die Aufgabe würde also lauten: "BEstimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der ausgewählten Personen ehrlich sind:

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot

((5),(2)):=Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten, dass mindestens zwei Personen ehrlich sind.

P_{A} = \frac{(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})}

MatheMich aktiv_icon

22:01 Uhr, 19.03.2012

hm also

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})

steht für steht für 3 aus 5 ehrlichen Leuten

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) =

aus 4 schmugglern eine person

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) =

aus 5 ehrlichen 2

soll das ddas bedeuten:

Aus 9 Personen werden 3 zur Kontrolle gewählt. Wie hoch ist die W'keit dass ein schmuggler und 2 ehrliche unter den dreien befinden?

Ich versteh nicht was ich bei der 2 machen soll

: (

Underfaker aktiv_icon

22:05 Uhr, 19.03.2012

1 Schmuggler und 2 ehrlicher oder 3 ehrliche bzw. kein Schmuggler.

Insgesamt wie oben leider schon steht:

Höchstens 1 Schmuggler oder mindestens zwei ehrliche.

MatheMich aktiv_icon

22:06 Uhr, 19.03.2012

ok danke kann mir jetzt vll jmd erklären wie die 2 geht? weil die kann ich gar nicht nachvollziehen

: (((

Underfaker aktiv_icon

22:13 Uhr, 19.03.2012

Schreibe doch mal jede mögliche Zahl auf die man erziehlen kann und die Wahrscheinlichkeit dazu, als Beispiel:

Von

20

sektoren eines Glücksrades enthalten zwölf eine 0.

0 \to p = \frac{12}{20}

dann hast du die Wahrscheinlichkeit beim ersten drehen, fürs zweite drehen muss ja laut Aufgabenstellung, erst eine

12

gedreht werden, diese Wahrscheinlichkeit kennst du ja nach dem ersten Schritt.

MatheMich aktiv_icon

22:26 Uhr, 19.03.2012

aber wie drückt sich das in der tabelle und mit dem

x

aus weil so wie das grade geagt hat kann ich das nachvollziehn.

d . h

. ich weiß nicht wie ich das in der tabelle machen soll

. .

: (

Underfaker aktiv_icon

22:28 Uhr, 19.03.2012

1 mal drehen:

0 \to \frac{12}{20}

1 \to \frac{4}{20}

2 \to \frac{3}{20}

4 \to \frac{1}{20}

So vielleicht?!

MatheMich aktiv_icon

22:31 Uhr, 19.03.2012

ja das ist doch jetzt der erwartugnswert für 1 mal drehen. und jetzt?

Underfaker aktiv_icon

22:36 Uhr, 19.03.2012

Das ist die Wahrscheinlichkeit:

P (x = 0) = \frac{12}{20}

P (x = 1) = \frac{4}{20}

P (x = 2) = \frac{3}{20}

P (x = 4) = \frac{1}{20}

du benötigst nun noch die Wahrscheinlichkeiten für ein zweites Mal ziehen.

Beim Erwartungswert kann ich dir nicht helfen, da ich nciht weiß wie oft man dreht.
Ein bzw. zwei Mal?

MatheMich aktiv_icon

22:38 Uhr, 19.03.2012

hm ok, aber trotzdem danke! ich warte vllt hat ja jmd anders noch von dem scheiß ne ahnung

- . -

Matlog aktiv_icon

01:10 Uhr, 20.03.2012

Hallo Mich,

ein zweites Mal wird ja nur gedreht, wenn beim ersten Mal eine "1" kam.

Sorry, ich hab jetzt keinen Bock hier einen Baum zu zeichnen. Du solltest das aber tun!
Von links beginnst Du mit vier Verzweigungen (für erstes Drehen), an deren Enden

0,1,2

und 4 stehen, mit den eben errechneten Wahrscheinlichkeiten an den Verästellungen.
Von der 1 (und nur von dort) gehen wieder vier Äste ab (für das zweite Drehen), wieder am Ende

0,1,2

und 4 und denselben Wahrscheinlichkeiten.

Ab jetzt bezeichnet

X

die Zufallsvariable "Summe der beim einmaligen oder zweimaligen Drehen erreichten Zahlen", genau wie im Aufgabentext gefordert.

Wird beim ersten Drehen keine 1 gedreht, dann bleibt

X

bei der erdrehten Zahl. Wird zuerst eine 1 gedreht, dann wird für

X

zu dieser 1 noch die zweite erdrehte Zahl addiert, also

1 + 0, 1 + 1, 1 + 2

oder

1 + 4

. Die Wahrscheinlichkeiten für diese

1,2,3

oder 5 ergeben sich durch Multiplikation der an den Verzweigungen stehenden Wahrscheinlichkeiten (Pfadmultiplikationsregel).

Jetzt musst Du nur noch beachten, dass

X = 2

auf zwei verschiedene Arten entstehen kann: nur 2 oder

1 + 1

.

Also errechnen wir:

P (X = 0) = \frac{12}{20} = \frac{60}{100}

P (X = 1) = \frac{4}{20} \cdot \frac{12}{20} = \frac{12}{100}

P (X = 2) = \frac{3}{20} + \frac{4}{20} \cdot \frac{4}{20} = \frac{19}{100}

P (X = 3) = \frac{4}{20} \cdot \frac{3}{20} = \frac{3}{100}

P (X = 4) = \frac{1}{20} = \frac{5}{100}

P (X = 5) = \frac{4}{20} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{100}

Dies (als Tabelle aufgeschrieben) nennt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
Den Erwartungswert erhältst Du jetzt einfach, indem Du die Werte

0,1, ...,5

mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alles aufsummierst:

E (X) = 0 \cdot \frac{60}{100} + 1 \cdot \frac{12}{100} + 2 \cdot \frac{19}{100} + 3 \cdot \frac{3}{100} + 4 \cdot \frac{5}{100} + 5 \cdot \frac{1}{100} = \frac{84}{100}

Das bedeutet: Im Durchschnitt wird eine Summe von

0,84

erdreht!

So, das war´s aber jetzt! Gruß, Matlog

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