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Stochastik - Abiturähnliche Aufgabe

Schüler

Tags: Bernoulli, Binomialverteilung, Stochastik, Wahrscheinlichkeit

Trickster aktiv_icon

11:43 Uhr, 27.04.2018

Guten Tag!
Und zwar lerne ich gerade für meine Matheprüfung und wollte zum üben die Aufgabe 1 im Anhang bearbeiten, ich weiß nur leider nicht mehr weiter.

Hier meine Lösungen und Ansätze:

a)

für

P (A)

Bernoulli-Formel für

min

. 1 Treffer;

P (X \geq 1) = 1 - {(1 - p)}^{n}

n = 9

und

p = 0,03

eingesetzt;

P (A) = 0,2398

für

P (B)

Hier muss man glaub ich aufsummieren, mein Taschenrechner kann das nicht und in der kumulierten Tabelle gibt es kein

p = 0,44;

schreib ich dann einfach:

F (100; 0,44; 49) - F (100; 0,44; 40) = P (B)

? wie kann ich das denn ausrechnen?

b)für

P (C)

Hier hab ich den einzig günstigen Pfad eines Baumdiagramms gezeichnet und mit der 1. Pfadregel gerechnet also:

0,16 \cdot 1 \cdot 0,44 \cdot 1 \cdot 0,44 = 0,0310

Ist es zulässig wenn ich kein komplettes Baumdiagramm zeichne sondern nur die günstigen Pfade und dann damit rechne?
für

P (D)

hab ich versucht mit der Bernoulli-Formel für genau

k

Treffer auf ein Ergebnis zu kommen, also:

((\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0,12}^{1} \cdot {(1 - 0,12)}^{4}) + ((\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0,44}^{2} \cdot {(1 - 0,44)}^{3}) = 0,5638

stimmt das?

c)

Da hab ich nichts, kurze Tipps wie ich das lösen kann wären super

d) H =

Person leidet an Herz-/Kreislaufproblemen

P (H) = 0,44 \cdot 0,33 + 0,56 \cdot 0,05 = 0,16

für die Wahrscheinlichkeit dass jemand höchstens

60

ist weiß ich leider nicht was ich machen soll.

e)

überhaupt keine Idee

Ich bitte um eine Kontrolle meiner Lösungen und um Stichworte wie ich die Aufgaben lösen kann bei denen ich nicht weiterwussste (evtl. auch wie ich erkenne wann ich was anwenden muss).

Vielen Dank schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente
Bernoulli-Kette

Roman-22

14:27 Uhr, 27.04.2018

p (A)

hast du richtig

Dein Ansatz für

P (B)

ist wohl auch richtig, wenn du mit

F

die kumulierte WKT einer binomialverteilten Größe meinst. Wie du es konkret berechnest hängt davon ab, welche Hilfsmittel dir zu Verfügung stehen. Wenn die Tabelle

p = 0,44

nicht hergibt, dann vielleicht

p = 0,56 -

damit könnte man sich auch behelfen. Viele TR beherrschen die kumulativen Wahrscheinlichkeiten (Handbuch durchlesen!).
Und dann kann man ja die 9 Summanden von

\sum_{k = 41}^{49} [(\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,44}^{k} \cdot {0,56}^{100 - k}]

auch "zu Fuß" aufsummieren, falls der TR wenigsten die Binomialkoeffizienten berechnen kann.
Ergebnis ist jedenfalls

P (B) \approx 62,482 %

Ach ja - falls ihr das gelernt habt wäre eine weiter Möglichkeit, hier die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung zu nähern.

P (C)

hast du richtig

P (D)

ist falsch.
Zum einen müssen die beiden Ereignisse ja beide Eintreten - daher nicht

+,

sondern

⋆

. Aber auch einfach multiplizieren wäre falsch, weil die Ereignisse "genau einer ist

max

. 20" und "genau zwei sind älter als 60" nicht unabhängig voneinander sind.
Also erst einer von 5 der

max

20

ist

\to (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot 0,12

Dann von den verbleibenden vier noch zwei die älter als

60

sind

\to (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0,44}^{2}

Und die restlichen beiden dürfen weder jünger als

20

noch älter als

60

sein

\to {0,44}^{2}

Daher

P (D) = (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot 0,12 ⋆ (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0,44}^{2} ⋆ {0,44}^{2} \approx 13,493 %

c)

hat mit der Tabelle und den bisherigen Angaben überhaupt nichts mehr zu tun. Es ist eine jener berüchtigten Dreimal-mindestens-Aufgaben die wohl ausschließlich im Schulbereich ihr Dasein fristen.
Einstiegsaufgabe für dich: Die WKT höchstens

20

zu sein sei

0,123

. Wie groß ist die WKT, dass von

10

Personen mindestens einer höchstens

20

ist?
Wenn du das gelöst hast, versuche den Ausdruck für die gleiche WKT hinzuschreiben, wenn du die

0,123

durch ein allgemeines

p

ersetzt.
Na und dieser Ausdruck soll nun

\geq 0,95

sein. Aus dieser Ungleichung ist

p

zu ermitteln. Lösung:

p \geq 25,8866 %

d)

Dein

p (H)

ist richtig - der Anteil ist also

16 %

Bei der zweiten Frage geht es um eine bedingte WKT. Das kannst du mit Bäumchen, Vierfeldertafel oder auch formal mit dem Satz von Bayes in Angriff nehmen.
Oder durch logisches Denken: Der Patient hat ein Herzleiden und damit ist klar, dass er einer der

44 \cdot 0,3 + 56 \cdot 0,05

Herzleidenden ist. Wie groß wird wohl die WKT sein, der er einer der

56 \cdot 0,05

jüngeren Herzleidenden ist?

e)

Ist eine klassische Aufgabe - straight foreward.
Wenn du da tatsächlich überhaupt keine Idee hast, so bedeutet das wohl, dass das bei euch noch nicht im Unterricht behandelt wurde und du das daher auch (noch) nicht können musst.
Eventuell ist hier auch eine Näherung durch Normalverteilung anzudenken.

Trickster aktiv_icon

17:21 Uhr, 27.04.2018

Vielen Dank erstmal für die Antwort!

Dein Lösungsweg für

P (D)

macht für mich Sinn, aber ich hab jetzt die Lösungen (leider nicht ganz nachvollziehbar) und dort wurde gerechnet:

5! \cdot {0,12}^{1} \cdot {0,44}^{4} = 0,5397

die Wahrscheinlichkeit wirkt aber für mich etwas zu hoch für dieses Ereignis, verstehe nicht ganz wieso dort so gerechnet wurde, ist das denn falsch?

pivot aktiv_icon

18:00 Uhr, 27.04.2018

Du hast 3 Gruppen mit den folgenden bezeichungen: Unter 20-jährige:

A

, Über 60 jährige:

C

, Gruppe zwischen A und C:

B

Die fünf Personen (A,2xB,2xC) können folgendermaßen angeordnet werden:

A B B C C

Insgesamt gibt es aber

\frac{5!}{1! \cdot 2! \cdot 2!}

Möglichkeiten die 5 Personen anzuordnen. Sie werden nur unterschieden durch ihre Gruppenzugehörigkeit.

Somit ist

P (D) = \frac{5!}{1! \cdot 2! \cdot 2!} \cdot 0, 12 \cdot 0, 4 4^{2} \cdot 0, 4 4^{2} = 13, 49 %

Insofern stimme ich dem Ergebnis von Roman zu und nicht deiner (vorgegebenen) Lösung.

Roman-22

23:06 Uhr, 27.04.2018

>

dort wurde gerechnet: 5!⋅0,121⋅0,444
Naja, da hat der Lösungsrechner einen Fehler gemacht. Er hat die Permutation der 5 Personen einfach mit

5!

angegeben und dabei nicht berücksichtigt, dass es sich hier um eine Permutation mit Wiederholungen handelt. Die beiden über-60-jährigen und die beiden 20-bis-60-jährigen sind (im Sinne der Aufgabe) nicht unterscheidbar. Eine Permutation von nicht unterscheidbaren Elementen bringt aber nichts Neues und deshalb wird bei Permutation mit Wiederholungen durch diese Permutationen dividiert, wie pivot bereits gezeigt hatte. Damit kommt man dann auch auf dasselbe Ergebnis auf welches ich vorhin durch eine etwas andere Überlegung gekommen bin. Schließlich ergibt

(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})

dasselbe wie

\frac{5!}{2! \cdot 2!},

nämlich

30

1424219

1424161

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