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Stochastik + Analysis
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 14:13 Uhr, 20.01.2004  |
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Ohoh ich glaube ich habe da was ganz schweres was mir leider den Kopf zerbricht und mich net weiterbringt... ...da ist die folgende Frage: Erarbeiten sie folgende Problematik anhand eines einfachen Zahlenbeispiels und allgemein. Eine Verbindung aus Stochastik und Analysis: www.infofriend.de/mathe01.jpg Ich habe keine Ahnung ob das ne große Aufgabe ist oder recht schnell zu lösen ist, ich komme damit zumindest überhaupt nicht klar. Also falls hier jemand eine solch außergewöhnliche Begabung besitzt sowas ausrechnen zu können und auch noch Spaß dran hat sowas zu machen wäre ich demjenigen sehr dankbar für Hilfe Achso: Aufgabe 2 müsste wohl nochmal komplett durch n geteilt werden, damit es Sinn macht!!?? |
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Hallo, naja, hab kurz Zeit für Aufgabe 1: f(x) einfach ableiten (diff'bar ist klar, weil alle Terme als diff'bare Funktionen aufgefaßt werden können): f'(x)=-2(x1-x)-2(x2-x)-...-2(xn-x)= -2[(x1-x)+(x2-x)+...+(xn-x)] =-2[(x1+...+xn)-(n*x)], also f'(x)=-2[(x1+...+xn)-(n*x)] (*) und wegen _ x=(x1+...+xn)/n (wir schreiben im Weiteren z für den Mittelwert anstatt diesem x mit dem Strich drüber, nur formal), folgt: n*z=[x1+...+xn] und damit (in (*) einsetzen): f'(z)=-2[(x1+...+xn)-(n*z)]=-2[(n*z)-(n*z)]=0, also kommt z als Extremwert für f in Frage. Wir differenzieren (*) nochmal nach x, und es folgt: f''(x)=2n > 0 (für alle x; beachte auch: n ist eine natürliche Zahl). Also gilt: f'(z)=0 und f''(z) > 0 => f nimmt an z ihr Minimum an. (**) (siehe untern) Zum 2en Teil: Naja, mit meiner Schreibweise (z stehe für den Mittelwert) gilt dann: _2 s =f(z)*k(n) (k(n), weil: evtl. fehlt da ja noch ein Term mit n, also z.B. wäre mit k(n):=1/n dann: _2 s =f(z)/n. Bitte ergänze das jemand, der noch weiß, wie ne Varianz/mittlere quadr. Abweichung definiert ist, ich bin zu faul um nachzugucken... :)) Mehr fällt mir dazu net ein, weil ich momentan nicht mehr weiß, wozu die Varianz überhaupt benötigt wird geschweige denn, wie sie definiert ist :) (**): Beachte hierbei: Wir haben nur gezeigt: f hat an z ein lokales Minimum. Dies ist aber auch global, weil man die Funktion f auch umschreiben kann: f(x)=n*x²-2*x*z+(x1²+x2²+...+xn²) und damit ist f im Wesentlichen eine Parabel. Diese hat die Eigenschaft, dass ein lokales Extrema auch global ist. Viele Grüße Marcel |
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| Wow, bin begeistert, vielen Dank für die sehr hilfreichen Erklärungen!!! | |
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Hallo, ich hab noch eine (nicht unwesentliche) Bemerkung (siehe (**)) hinzugefügt: lese diese bitte auch noch durch!!! Ansonsten: gern geschehen! Viele Grüße Marcel |
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