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Stochastik Aufgabe, Wahrscheinlichkeitsberechnung

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Stochastik, Wahrscheinlichkeit

pampelmusee aktiv_icon

21:14 Uhr, 11.04.2010

Aus dem Wort STOCHASTIK lassen sich durch zufälliges Umstellen der Buchstaben neue "Wörter" bilden. Berechnen Sie die Zahl der Wortschöpfungen, die sich dadurch bilden lassen. Berechne die Wsk, mit der ein solches Wort mit "T" anfängt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

vulpi aktiv_icon

22:11 Uhr, 11.04.2010

Hi,
du mußt

10

Plätze mit den Buchstaben besetzen.

Ich fang mit dem Einzelbuchstaben A an:

10

mögliche Plätze
Da das A nur einmal vorkommt, unterscheiden sich die daraus gebildeten Wörter auch.

Jetzt mach ich mit dem 2. Einzelbuchstaben

C

weiter: Jeweils 9 verbleibende Plätze

so geht das Spiel weter:

10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5

für die Einzelkandidaten

A, C, H, I, K, O

Jetzt müssen doch die Doppel-S auf den restlichen 4 Plätzen verteilt werden.
Dafür gibt es

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = 6

Möglichkeiten.
Da es für das Wort NICHT unterscheidbar ist, WELCHES

S

an erster bzw. zweiter
Position steht, muß hier die Reihenfolge ignoriert werden, also
darum die Kombinationen 2 aus 4.
Für das letze Pärchen

T, T

bleibt leider keine Auswahl mehr übrig, sie müssen
sich mit den verbleibenden 2 Restplätzen begnügen.

Somit gibt es insgesamt

6 \cdot \frac{10!}{4!}

mögliche "Wörter"

Übrigens kannst du auch die Doppel zuerst verteilen, das ergibt dann:

(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) \cdot 6!,

was auf's Gleiche rausläuft.

Allgemein erhält man

\frac{(k_{1} + k_{2} + ... + k_{n})!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot ... k_{n}!}

Wörter, wobei die

k' s

die Häufung der jeweiligen Buchstaben darstellen.

ALso

\frac{10!}{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 2!}

in deinem Beispiel.

Die Formel kannst du leicht nachvollziehen, indem du die Kombinationen
multiplizierst:

(\begin{matrix} L \\ k_{1} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} L \\ k_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} L \\ k_{3} \end{matrix})

usw.

L

ist die Summe der

k_{i},

also Wortlänge.
Rechne das mal an nem Beispiel durch, dann siehst du die obige Formel.

mfg

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