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Stochastik Aufgabe mehrere Glücksräder

Universität / Fachhochschule

Tags: Erwartungswert, Glücksspiel, Stochastik, Wahrscheinlichkeit

 
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Buggy-at-Trial

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14:19 Uhr, 05.10.2015

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Hallo zusammen,
eine stochastische Aufgabe plagt mich, da geteiltes Leid gleich halbes Leid ist (laut Garfield), folge ich dieser Weisheit:

Auf einem Volksfest werde mit drei Glücksrädern A und B und C mit unterschiedlichen Gewinnmöglichkeiten gespielt (0= Niete; 1 und 2= kleiner Gewinn; 3,4 und 5= mittlerer Gewinn; 6= Hauptgewinn).
Um festzulegen, mit welchem Glücksradgedreht werden soll, wird zunächst ein weiteres Glücksrad D gedreht (die Sektoren der einzelnen Glücksräder seien alle gleich groß).

Bild ist hinterlegt um alles visuell zu verdeutlichen!

Nun zur Fragestellung:

a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
I:Es wird der Hauptgewinn erspielt.
II:Es wird eine Niete erspielt.
III:Es wird ein mittlerer Gewinn auf Rad A erspielt.
IV:Es wird ein mittlerer Gewinn erspielt.

b)
Es sei bekannt, dass ein mittlerer Gewinn erspielt wurde. Mit welchem Rad wurde vermutlich gedreht?


Nun falls einer unter euch die Musterlösung zu der Aufgabe vorliegen haben sollte, wäre dies natürlich (ober-mega-hammer-ultra-extrem) spitze, wenn er diese zur Verfügung stellt.
Ansonsten können wir ja ggf. gemeinsam "leiden" und die Aufgabe erörter...

Meine Erkenntnisse:
Die Aufgabe ist vermutlich eine reine Wahrscheinlichkeitsaufgabe und setzt sich aus den diversen Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen. (Ich schließe also hier die Notwendigkeit der bedingten Wahrscheinlichkeit bei Aufgabe a) aus).

Die schwierigkeit liegt (m.E.) im "Auswahl" Rad-D, welches für die Auswahl der jeweiligen "Gewinn" Räder zuständig ist.

Ich habe für Rad D folgende Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet:

Rad-D: p(A)=12;p(B)=38;p(C)=18

Für die anderen Räder habe ich folgende Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet:

Rad-A: p(0=Niete)= 14; p(3,4,5=mittlerer Gewinn)= 34

Rad-B: p(0=Niete)= 16; p(1,2=kleiner Gewinn)= 23; p(3=mittlerer Gewinn)= 16

Rad-C: p(0=Niete)= 14, p(1,2=kleiner Gewinn)= 14; p(3,4,5=mittlerer Gewinn)= 38; p(6=Hauptgewinn)= 18



So nun zur Aufgabe a:

I:Es wird der Hauptgewinn erspielt

Dies wären für mich die Ereignisse: Rad-D C geschnitten Rad-C 6 also p(C) und p(6=Hauptgewinn)
Nachdem der Schnittmenge oder das und laut diverser Skripte ein Produkt ist, habe ich die beiden Wahrscheinlichkeiten multipliziert und erhalte: 1818=164(0,015625 also 1,5625 Prozent).
(Ich hoffe dies ist korrekt)



II:Es wird eine Niete erspielt

Hier wird es schon etwas umfangreicher, da die Wahrscheinlichkeiten für eine Niete gestreut sind und sich somit zum einen schneiden und zum anderen vereinigen...

Ich habe also für

Rad-A: p(0=Niete)= 14

Rad-B: p(0=Niete)= 16

Rad-C: p(0=Niete)= 14

Meine angenommene Formulierung: (Rad-D: p(A)=12 und Rad-A: p(0=Niete)= 14) oder (Rad-D: p(B)=38 und Rad-B: p(0=Niete)= 16) oder (Rad-D: p(C)=18 und Rad-C: p(0=Niete)= 14)
Also: (1214)+(3816)+(1814)=732(0,21875 bzw. 21,875 Prozent)



III:Es wird ein mittlerer Gewinn auf Rad A erspielt

Hier wird wieder Rad-D mit Rad-A verknüpft, glücklicherweise sind auf Rad-A nur mittlere Gewinne somit ergibt sich:

(Rad-D: p(A)=12) und (Rad-A: p(3,4,5=mittlerer Gewinn)= 34)
Also: 1234=38(0,375 bzw. 37,5 Prozent)



IV:Es wird ein mittlerer Gewinn erspielt

Hier muss wieder geschnitten und vereint werden, Rad-D und Rad-A übernehme ich einfach einmal aus des Aufgabe 3, da hier nur mittlere Gewinne vorlagen:
(Rad-D: p(A)=12) und (Rad-A: p(3,4,5=mittlerer Gewinn)= 34) oder (Rad-D: p(B)=38 und Rad-B: p(3=mittlerer Gewinn)= 16) oder (Rad-D: p(C)=18) und Rad-C: p(3,4,5=mittlerer Gewinn)= 38)
Also: 38+116+364=3164(0,484375 bzw. 48,4375 Prozent)

So ich weiß nun aber nicht ob ich alles reichtig gemacht habe bei Übung a), allerdings hoffe ich, dass wir diese Fragen gemeinsam klären können.



So nun zu Aufgabe b:

Es sei bekannt, dass ein mittlerer Gewinn erspielt wurde. Mit welchem Rad wurde vermutlich gedreht?

Hier wird etwas vorausgesetzt, nämlich dass ein mittlerer Gewinn erspielt wurde.

Gesucht: p(Rad A,b oder C| mittlerer Gewinn erspielt)

Ich vermute wir müssen nun alle bedingten Wahrscheinlichkeiten für jedes Rad berechnen und diese dann gegenüberstellen um zu sehen welches die höchste Wahrscheinlichkeit hat. Zum Glück ahben wir in Aufgabe a Punkt 4 bereits diese Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet, somit können wir hier die Werte übernehmen.

Ich fasse dies wie folgt auf:
RA= Ereignis Mittlerer Gewinn Rad-A,
RB= Ereignis Mittlerer Gewinn Rad-B,
RC= Ereignis Mittlerer Gewinn Rad-C

GM= Ereignis Mittlerer Gewinn erspielt

somit gesucht: p(RA | GM) = p(RA und GM)/p(GM) ; p(RB | GM) = p(RB und GM)/p(GM) ; p(RC | GM) = p(RC und GM)/p(GM)

Wir haben zum glück die meisten Werte in Aufgabe a Punkt 4 berechnet somit haben wir
Rad-A:
p(RA und GM)= 38
p(GM)= 3164
p(RA | GM) =38/3164=2431(0,774194 gerundet bzw. 77,4194 Prozent gerundet)


Rad-B:
p(RB und GM)= 116
p(GM)= 3164
p(RB | GM) =116/3164=431(0,1290 gerundet bzw. 12,90 Prozent gerundet)


Rad-C:
p(RC und GM) =364
p(GM)= 3164
p(RC | GM) =364/3164=331(0,1998 gerundet bzw. 19,98 Prozent gerundet)


Somit ist wahrscheinlich Rad-A mit der höchsten Wahrscheinlichkeit für den Gewinn verantwortlich...


So ich weiß nun aber leider immernoch nciht, ob ich mit meinen Herangehensweisen korrekt liege...




In diesem Sinne nicht vergessen, dass die Nase läuft und die Füße riechen!


Gluecksrad

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Matlog

Matlog aktiv_icon

15:03 Uhr, 05.10.2015

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Ich mach's kurz:
Das scheint mir vollständig richtig zu sein!
Frage beantwortet
Buggy-at-Trial

Buggy-at-Trial aktiv_icon

15:22 Uhr, 06.10.2015

Antworten
Hallo Matlog,
vielen Dank für die klare Beantwortung der Frage!

LG