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Stochastik (Erwartungswert)

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: Aussuchen, Bewerten, Glücksspiel

Stochastikfeind aktiv_icon

03:52 Uhr, 21.10.2010

Hey Leute, hab zwar ne Lösung, bin mir aber unsicher.

Spiel 1: mit 2 Würfeln.

12

Euro Gewinn bei

12

Augen, 2 Euro gewinn bei 2 Augen. Einsatz

50

ct.

Spiel 2: mit 2 Tetraedern. 8 Euro Gewinn bei 8 Augen, 2 Euro Gewinn bei 2 Augen. Einsatz 1 Euro.

a)

Untersuchen sie, welches Spiel spielerfreundlicher ist.

b)

Welchen Einsatz müsste der Würfelbudenbesitzer fordern, damit er auf lange Sicht denselben Gewinn pro Spiel zu erwarten hat wie der Besitzer der Tetraederbude?

Bei a hab ich folgendes gerechnet:
Würfelspiel:

(12

Euro

\cdot 36

plus 2 Euro

\cdot 36) - 50

ct.
Tetraederspiel:

(8

Euro

\cdot 16

plus 2 Euro

\cdot 16) - 1

Euro

Könnte mir bitte jemand sagen, ob ich richtig liege? Denn ich krieg komische Ergebnisse raus. Auch bei Aufgabe

b

tu ich mich schwer.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

BjBot aktiv_icon

04:50 Uhr, 21.10.2010

Nein, du liegst nicht richtig - wie kommst du auf deine Ansätze ?
Wie dein Titel schon sagt geht es um Erwartungswerte und genau diese sollst du für beide Spiele berechnen.
Bei

b)

musst du die beiden Erwartungswerte (mit einem allgemeinen Einsatz

e

für Spiel

1)

gleichsetzen und nach

e

auflösen.
Im Wesentlichen musst du dir für diese Aufgaben überlegen was

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

und entsprechend

p_{1}, p_{2}

und

p_{3}

ist und das dann nur in die Erwartungswertformel einsetzen.

Stochastikfeind aktiv_icon

17:34 Uhr, 21.10.2010

Danke für deine Antwort, ich hab a jetzt gelöst, mein Ansatz war doch nicht so falsch, ich hab lediglich nur was vergessen, nämlich beim würfel

(12 \cdot \frac{1}{36}

plus

2 \cdot \frac{1}{36}) - 0,5

. beim Tetraeder sinds

(8 \cdot \frac{1}{16}

plus

2 \cdot \frac{1}{6}) - 1

E (x)

vom Würfel ist also

- 0,11

E (y)

vom Tetraeder ist also

- 0,375

Das spielfreundlichere Spiel ist also das Würfelspiel.

Allerdings komme ich bei

b

immer noch nicht weiter. Vllt wärst du so nett und könntest mir das näher erläutern, viel ist das ja nicht.

Danke

BjBot aktiv_icon

18:46 Uhr, 21.10.2010

a)

ist immer noch falsch, da

p_{3}

nicht 1 ist sondern...
Bei

b)

wüsste ich nicht wie ich es noch genauer beschreiben könnte, man muss die Erwatungswerte wie gesagt gleichsetzen und statt

x_{3} = - 0,5

muss es bei Spiel 1 diesmal allgemein

x_{3} = e

lauten.

Stochastikfeind aktiv_icon

01:58 Uhr, 22.10.2010

a ist richtig, der erwartungswert vom tetraeder beträgt hundertprozentig

- 0,375,

wurde vom lehrer auch bestätigt. ich könnte mich höchstens nur beim erwartungswert des würfels

(- 0,11)

geirrt haben, was ich aba nich glaube, da der Rechenschritt derselbe ist, nur mit anderen zahlen. was du mit deinem

p 3

und

x 3

meinst, weiß ich nicht. liegt bestimmt daran, dass wir in der schule dafür wahrscheinlich andere symbole haben. du meinst also bei

b

müsste ich einfach

- 0,375 = - 0,11 \cdot x

setzen und nach

x

auflösen?

teppich aktiv_icon

02:40 Uhr, 22.10.2010

Vorweg kann ich es mir nicht verkneifen, ein paar Worte zum Erwartungswert zu verlieren. Den Erwartungswert einer Zufallsvariable kann man als gewichtetes Mittel (also durchschnittliches Ergebnis) betrachten. Man berechet ihn, indem man alle Werte der Zufallsvariable mit der entsprechenden Auftrittswahrscheinlichkeit multipliziert und aufsummiert.
(Ich vermute BjBot meint mit den

x_{i}

die Werte der ZV und mit den

p_{i}

die zugehörigen W.)

Lassen wir die Einsätze zuerst einmal außer acht und definieren zwei Zufallsvariablen:

X

: Gewinn an der Würfelbude

Y

: Gewinn an der Tetraederbude

(a)
Die Erwartungswerte sind:

\begin{array}{rcl} E X & = & 12 € • P (X = 12) & + & 2 € • P (X = 2) & = & 12 € • \frac{1}{36} & + & 2 € • \frac{1}{36} & = & \frac{14}{36} € & = & \frac{7}{18} € & \approx & 0, 39 € \end{array}

\begin{array}{rcl} E Y & = & 8 € • P (y = 8) & + & 2 € • P (Y = 2) & = & 8 € • \frac{1}{16} & + & 2 € • \frac{1}{16} & = & \frac{10}{16} € & = & \frac{5}{8} € & = 0, 625 € \end{array}

Dies sind nun die jeweiligen Durchschnittsgewinne, von denen jedoch noch die Einsätze abgezogen werden müssen.
Gewinn Würfelbude:

E X - 0, 5 € = - \frac{1}{9} € \approx - 0, 11 €

Gewinn Tetraederbude:

E Y - 1 € = - 0, 375 € \approx - 0, 38 €

Bei (b) müssen wir nurnoch herausfinden, für welchen Einsatz

x

an der Würfelbude die "Gewinne" (wir sehen die Verluste des Spielers einfach als negative Gewinne an) an beiden Bude gleichgroß sind (aus Faulheit ohne "€"):

E X - x = E Y - 1 \Rightarrow \frac{7}{18} - x = - \frac{3}{8} \Rightarrow x = \frac{55}{72} \approx 0, 76

BjBot aktiv_icon

12:47 Uhr, 22.10.2010

Warum sollten die Einsätze einfach nur abgezogen werden ?
Man summiert doch alle Produkte

x_{i} \cdot p_{i}

auf.
Es gibt aber doch DREI mögliche Gewinnwerte für den Ausgang eines Spiels (bei Spiel

1) :

x_{1} = 12 \to

Spieler macht

12

Euro Gewinn

x_{2} = 2 \to

Spieler macht 2 Euro Gewinn

x_{3} = - 0,5 \to

Spieler macht

- 50

Cent Gewinn (negativer Gewinn ist dann halt Verlust)

Die entsprechenden Ergebnisse zu

x_{1}

bzw

x_{2}

treten jeweils nur einmal auf und

x_{3}

tritt

36 - 1 - 1

also

34

Male auf.
Daher ist

p_{1} = p_{2} = \frac{1}{36}

und

p_{3} = \frac{34}{36}

für Spiel 1.
Da

p_{3}

natürlich nah an 1 liegt macht es im Endeffekt nicht viel aus, jedoch kann man meiner Meinung nach nicht einfach sagen, dass man den Einsatz abzieht.

Stochastikfeind aktiv_icon

15:35 Uhr, 22.10.2010

BjBot, ich versteh deinen einsatz, aber ich hab das genau wie teppich gemacht und das wurde vom lehrer bestätigt. über die verschiedenen ansätze lässt sich natürlich streiten.

teppich, vielen dank erstmal, die erklärung zu

b

hab ich soweit verstanden, allerdings hat mein Lehrer für

x 1,25

rausgekriegt?

teppich aktiv_icon

18:26 Uhr, 22.10.2010

@BjBot
Deine Frage läßt sich mit der Linearität des Erwartungswertes beantworten. Definieren wir hierzu zwei Zufallsvariablen:
X: Auszahlung beim Spiel
Z: Gewinn beim Spiel
Ganz offensichtlich ist

Z = X - c

(

c

sei hier der Einsatz). Damit ist

E Z = E (X - c) = E X - E c = E X - c

Bei dir hat sich noch ein kleiner Fehler eingeschlichen. Du musst auch im Gewinnfall vorher deinen Einsatz bringen. Also wäre dein

x_{1} = 11, 5

und

x_{2} = 1, 5

.

Linearität des Erwartungswertes bedeutet:

E (a X + b Y) = a E X + b E Y

,
insbesondere ist der Erwartungswert einer Zahl die Zahl selbst:

E r = r

, für

r \in ℝ

BjBot aktiv_icon

18:35 Uhr, 22.10.2010

"Bei dir hat sich noch ein kleiner Fehler eingeschlichen. Du musst auch im Gewinnfall vorher deinen Einsatz bringen. Also wäre dein

x 1 = 11,5

und x2=1,5"

Das ist Ansichts- bzw Interpretationssache.
Gewinn heißt für mich, dass das schon abzüglich des Einsatzes so ist (Gewinn=Erlös-Kosten)

Stochastikfeind aktiv_icon

21:10 Uhr, 23.10.2010

Danke an euch. Teppich, kannste dir vllt erklären wie mein lehrer für

x

auf

1,25

kommt?

teppich aktiv_icon

02:04 Uhr, 24.10.2010

Gehen wir einmal davon aus, dass ich mich nicht verrechnet habe, so ist der gesuchte Wert

0, 76 €

. Vergißt man, die "alten"

50 c t

Einsatz aus der Rechnung herauszunehmen, so bekommt man statt

0, 76 €

den Wert

0, 76 + 0, 5 = 1, 26

heraus. Rechnet man anstelle von Brüchen mit gerundeten Werten, so kann man alternativ durchaus auf

1, 25 €

kommen.

Stochastikfeind aktiv_icon

16:53 Uhr, 24.10.2010

Danke, dir spendier ich irgendwann mal ein Bier.

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