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Stochastik Erwartungswert

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

anonymous

16:08 Uhr, 04.07.2012

Hallo

was genau ist der unterschied zwischen varianz und standardabweichung?

also ich kenne all die formeln, aber ich weiß nicht, was mir die varianz und die standardabweichung sagen will

Bummerang

16:24 Uhr, 04.07.2012

Hallo,

wenn Du die Formeln kennst, dann sicher auch diese:

Var(X) = E((X-µ)^2)

= σ_{X}^{2}

Die sagt eigentlich schon alles: Wenn Du eine irgendwie verteilte Größe hast und deren Erwartungswert µ kennst, dann werden in einem Experiment die ermittelten Größen vom Erwartungswert abweichen. Das Quadrat der Abweichungen selbst bildet eine eigene Zufallsgröße, die einen eigenen Erwartungswert hat und dieser nennt sich einfach Varianz und die Wurzel daraus nennt sich einfach Standardabweichung

σ_{X}

.

Je kleiner im Experiment die Werte vom Erwartungswert abweichen, desto kleiner die Quadrate der Abweichung und desto kleiner deren Erwartungswert. Mit anderen Worten: Je besser Dein Experiment ist und Du damit gemessene Werte aus der Nähe des Erwartungswertes erhältst, desto kleiner die Varianz. Oder andersherum: Wenn Du ein Experiment mit einer kleinen Varianz hast, dann sind Deine Meßwerte näher an dem Erwartungswert. Damit sind Varianz und Standardabweichungen ein Maß, für die Güte der Meßwerte eines Experiments.

anonymous

17:51 Uhr, 04.07.2012

Okay danke

Das hier ist eine Aufgabe die ich in einer Kursarbeit gestellt bekommen habe, ich konnte sie nicht korrekt lösen:

Bei vier Würfeln sind jeweils 5 Seitenflöchen ohne Kennzeichenung (blind), auf der sechsten Seitenfläche hat der erste Würfel eine

1,

der zweite eine

2,

der dritte eine 4 und der vierte eine 4. Bei einem Einsatz von 1 Euro werden die Würfel einmal geworfen. Ausgezahlt wird nach folgendem Plan:

Augensumme

\to

Auszahlung in Euro

0 \to 0

1 bis

5 \to 1

6 bis

7 \to 5

8 bis

9 \to 10

10 \to 100

Ist es empfehlenswert, das Spiel zu spielen?

Ma-Ma aktiv_icon

01:54 Uhr, 05.07.2012

Du kennst die Formel vom Erwartungswert.

Berechne die entspechenden Wahrscheinlichkeiten der Augensummen.
Fange an bei Augensumme

= 0

.

Bei Augensumme

= 1

bis 5 schreibe am besten zuerst alle Kombinationen auf und berechne dann die Wahrscheinlichkeit.

usw. usf.

Schlussendlich setze die Wahrscheinlichkeiten und die entsprechenden Auszahlsummen in die Formel des Erwartungswertes ein.

LG Ma-Ma

anonymous

08:17 Uhr, 05.07.2012

Ja das wollte ich auch machen

aber ich bin daran gescheitert, die wahrscheinlichkeiten von den jeweiligen Augensummen herauszufinden.

also, in der Arbeit habe ich geschrieben:

P("0")

= \frac{5^{4}}{6^{4}} = 0, 48 %

da hat mein Lehrer noch ein Häkchen gesetzt

aber dann hab ich alles falsch gemacht, weiß aber nicht wieso:

P(" 1 bis 5")

= \frac{5}{6^{4}} = 0,39 %

P(" 6 und 7")

= \frac{2}{6^{4}} = 0,15 %

P(" 8 und 9")

= \frac{2}{6^{4}} = 0,15 %

P(" 10")

= \frac{1}{6^{4}} = 0,08 %

Bummerang

10:04 Uhr, 05.07.2012

Hallo,

"P("0")

= \frac{5^{4}}{6^{4}} = 0,48 %

da hat mein Lehrer noch ein Häkchen gesetzt"

Da hast Du aber Schwein gehabt, denn das Ergebnis ist falsch! Entweder schreibst Du "= 0,48" oder Du schreibst "= 48%", das wäre richtig!

Ansonsten solltest Du Dir mal klar machen, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben muß!!! Da fällt einem schon auf, dass die Summe (selbst wenn man die korrekten

48 %

für P("0") hernimmt) weit weg von der 1 ist (bzw.

100 %)

. Da müßte der letzte Fall P("11") ja den gesamten Rest abdecken, das sind mehr als

50 %

und das sollte wohl auch Dir als falsch einleuchten! Spätestens nachdem Du P("11") nach Deiner Methode errechnet hast, sollte Dir aufgefallen sein, dass da noch 'nen Haufen fehlt!

Ich zeige Dir mal anhand der Augensummen 1 und

4,

wie es korrekt wäre:

P("1"): Es muß der erste Würfel die "1" anzeigen, dafür gibt es genau eine Möglichkeit. Die anderen drei Würfel müssen jeweils eine leere Seite anzeigen, dafür gibt es jeweils 5 Möglichkeiten. Damit ergibt sich insgesamt

1 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}

Möglichkeiten.

P("4"): Es muß der dritte oder der vierte Würfel die "1" anzeigen, dafür gibt es genau zwei Möglichkeiten. Die anderen drei Würfel müssen jeweils eine leere Seite anzeigen, dafür gibt es jeweils 5 Möglichkeiten. Damit ergibt sich insgesamt

2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^{3}

Möglichkeiten.

Wenn Du das konsequent fortsetzt, dann erhältst Du

P("0") = 5°4/6^4

= 0,482253 . .

≅ 48,23 %

P("1-5")

= \frac{5^{3} + 5^{3} + 5^{2} + 2 \cdot 5^{3} + 2 \cdot 5^{2}}{6^{4}} = 0,443672 . .

≅ 44,37 %

P("6-7")

= \frac{2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 5}{6^{4}} = 0,046296 . .

≅ 4,63 %

P("8-9")

= \frac{5^{2} + 5}{6^{4}} = 0,023148 . .

≅ 2,31 %

P("10")

= \frac{5}{6^{4}} = 0,003858 . .

≅ 0,39 %

P("11")

= \frac{1}{6^{4}} = 0,000771 . .

≅ 0,08 %

Probe mit der Summe aller Prozente:

48,23 + 44,37 + 4,30 + 2,31 + 0,39 + 0,08 = 100,01

(Abweichung durch die Rundungen: 5 Mal aufgerundet, 1 Mal abgerundet)

Im übrigen ist der Erwartungswert nicht exakt berechenbar, da die Angabe für den Gewinn bei Augensumme

11

fehlt! Wenn man aber davon ausgeht, dass man für die Augensumme

11

keine Strafe zahlen muß, dann ist der im Erwartungswert für die Augensumme

11

stehende Summand nicht negativ und der Erwartungswert ist größer oder gleich der Summe der anderen Summanden. Diese Summe ist bereits

1,2962 . .

. und somit größer als der Einsatz. Damit gäbe es unter der Annahme, dass man bei der Augensumme

11

nicht nachzahlen muß eine echte Empfehlung, dieses Spiel zu spielen.

Wie man leicht nachrechnet, ist selbst bei einer Nachzahlung von bis zu 384€ für die Augensumme

11

das Spiel weiterhin empfehlenswert, denn

(- 384) \cdot 0,000771 > - 0,2961

und der Erwartungswer in diesem Falle demzufolge größer

1,0001

anonymous

12:54 Uhr, 05.07.2012

Ähm hä?

irgendwie verstehe ich das nicht
nach der Augensummer

11

wurde doch gar nicht gefragt

und ich hab mich verschrieben, ich meinte

0,48

:-D)

Bummerang

14:24 Uhr, 05.07.2012

Hallo,

"nach der Augensummer

11

wurde doch gar nicht gefragt"

Ist die Augensumme

11

möglich oder nicht? Wenn ja, dann muß zur exakten Berechnung des Erwartungswertes klar sein, was beim Erreichen der Augensumme

11

passiert! Bekommt man Geld, wenn ja wie viel? Muß man gar welches als Strafe zahlen, wenn ja wieviel? Oder wird das wie die Augensumme 0 behandelt, Auszahlung Null? Damit ist diese Angabe für die exakte Berechnung des Erwartungswertes zwingend erforderlich und wenn in der Aufgabenstellung davon nichts steht, heißt das nur, dass der Erwartungswert nicht berechenbar ist! Ist aber der Erwartungswert nicht berechenbar, kann auch das Spiel nicht endgültig bewertet werden. Man kann nur Grenzen angeben, innerhalb derer das Spiel für den Spielenden statistisch günstig ist. Und das habe ich getan: "Wie man leicht nachrechnet, ist selbst bei einer Nachzahlung von bis zu 384€ für die Augensumme

11

das Spiel weiterhin empfehlenswert..." Natürlich aus Sicht des Spielers, nicht aus der Sicht des Spielbetreibers...

anonymous

15:03 Uhr, 28.07.2012

"P("4"): Es muß der dritte oder der vierte Würfel die "1" anzeigen, dafür gibt es genau zwei Möglichkeiten. Die anderen drei Würfel müssen jeweils eine leere Seite anzeigen, dafür gibt es jeweils 5 Möglichkeiten. Damit ergibt sich insgesamt 2⋅5⋅5⋅5=2⋅53 Möglichkeiten."

hä? ich verstehe das nicht mehr

für die Augensumme 4 gibt es doch nur diese eine möglichkeit

1 + 3

und dafür gibt es

1 \cdot 3 \cdot 5^{2}

Möglichkeiten

Ma-Ma aktiv_icon

20:18 Uhr, 28.07.2012

Deine Aufgabenstellung:
"Das hier ist eine Aufgabe die ich in einer Kursarbeit gestellt bekommen habe, ich konnte sie nicht korrekt lösen:
Bei vier Würfeln sind jeweils 5 Seitenflöchen ohne Kennzeichenung (blind), auf der sechsten Seitenfläche hat der erste Würfel eine 1, der zweite eine 2, der dritte eine 4 und der vierte eine 4."

Frage: Hast Du Dich beim dritten Würfel verschrieben ?
Wenn ja, kommen die Irritationen mit der 11 sicher durch die falsche Zahl beim dritten Würfel ...

LG Ma-Ma

anonymous

20:39 Uhr, 28.07.2012

Ja tut mir leid,

da kommt statt eine 4 eine 3

stimmt jz meine variante?

anonymous

21:00 Uhr, 30.07.2012

Hey da steht, dass ich nicht an der frage interessiert bin
aber ich bin noch daran interessiert!!!
Ich kann nicht ruhen bis ich die Lösung wirklich verstehe

Ma-Ma aktiv_icon

21:55 Uhr, 31.07.2012

Hallo Whoops,
wenn Du interessiert bist, können wir die Aufgabe nochmal gemeinsam rechen - auf die ganz einfache Art.

Da hier nach der Augensumme gefragt ist, ist es egal, welcher der erste, zweite , dritte oder vierte Würfel ist. Das gilt aber nur für diese Aufgabe, da nur ein Würfel die 1, nur ein Würfel die 2 usw. hat.

Zur Veranschaulichung zeichne Dir 4 Glücksräder auf.
1.Glücksrad hat auf 1/6 der Fläche die Ziffer 1.
2.Glücksrad hat auf 1/6 die Ziffer 2.
3.Glücksrad hat auf 1/6 die Ziffer 3.
4.Glücksrad hat auf 1/6 die Ziffer 4.

Wir schauen uns nun die Ergebnismengen an:

Augensumme 10:

Ω = (1; 2; 3; 4)

(Das (1;2;3;4) muss noch in geschweifte Klammern, funktioniert hier aber irgendwie nicht.)

Es gibt 1 günstige Möglichkeit.
Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten je Rad sind 6. Es gibt 4 Räder.

Nach LaPlace P= Günstige Möglichkeiten/Gesamtmöglichkeiten.

p_{10} = \frac{1}{6^{4}}

-----------------------------------

Jetzt zu Augensumme 8 bis 9:
Augensumme 8 bis 9:

Ω = (?; ?; ?; ?), (?; ?; ?; ?)

p_{8 b i s 9} = \frac{?}{6^{4}}

---------
LG Ma-Ma

anonymous

11:34 Uhr, 01.08.2012

okay vielen dank

ich verstehe, das schon mal nicht:

Augensumme

10 :

Ω=(1;2;3;4)

was bedeutet das genau?

Ma-Ma aktiv_icon

11:47 Uhr, 01.08.2012

Omega

Ω

ist die Lösungsmenge.
Blätter in Deinem Lehrbuch einige Seiten zurück, da findest Du das Thema garantiert genau beschrieben.

Allgemein gesagt, wenn ich die Augensumme 10 erhalten möchte, müssen die einzelnen Ereignisse 1, 2, 3 und 4 auftreten.

Zur Veranschaulichung male Dir 4 Glücksräder auf oder nimm 4 Würfel in unterschiedlichen Farben mit der entsprechenden Beschriftung.
z.B. roter Würfel mit 1, blauer Würfel mit 2, usw. usf.

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