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Stochastik Erwartungswert Standardabeichung Kugeln

Schüler

Tags: farbige kugeln, nummeriert

wissenistmacht aktiv_icon

09:21 Uhr, 07.01.2017

Gegeben sei eine Urne mit sechs Kugeln. Zwei sind rot und haben den Wert 1 aufgedruckt, zwei sind gelb und haben den Wert 1 aufgedruckt, eine ist gelb und hat den Wert 2 aufgedruckt, eine ist gelb und hat den Wert 5 aufgedruckt.

a)

Es wird eine Kugel aus der Urne gezogen. Die Zufallsgröße

X

gibt die Zahl auf der Kugel an. Bestimmen Sie Erwartungswert, Standardabweichung, sowie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von

X

b)

Es werden ohne Zurücklegen zwei Kugeln gezogen. Die Zufallsgröße

Y

ist die Augensumme der Zahlen auf den gezogenn Kugeln. Bestimmen Sie Erwartungswert, Standardabweichung, sowie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y.

c)

Es werden mit einem Griff Kugeln aus der Urne gezogen, wobei nur die Farbe betrachtet wird. Für eine gelbe Kugel bekommt der Spieler 2€, für eine rote Kugel muss er 5€ zahlen. Vor Beginn der Ziehung muss der Spieler festlegen wie viele Kugeln er ziehen möchte. Die Zufallsgröße

Z

beschreibt den Gewinn bzw. Verlust des Spielers. Peter ist vorsichtig und zieht nur eine Kugeln. Sven ist der Ansicht, er hätte mit dem Ziehen von drei Kugeln eine bessere Chance. Beurteilen Sie die Strategien.

Ich habe bei der

a)

Folgendes raus:

Für Zahl

1 : (p = ξ) = \frac{2}{3}

Für Zahl

2 : (p = ξ) = \frac{1}{6}

Für Zahl

5 : (p = ξ) = \frac{1}{6}

E (x) = \frac{2}{3} \cdot 4 + \frac{1}{6} + 1 + \frac{1}{6} \cdot 1 = 3

V (x) = \frac{2}{3} \cdot

(3-4)²+

\frac{1}{6}

*(1-4)²+

\frac{1}{6}

*(1-4)²=

\frac{11}{3}

σ = \sqrt{\frac{11}{3}} = 1,91

Stimmt das? Wenn ja würde bei der

b)

dann gleich vorgegangen werden? Bei der

c)

hab ich noch nicht so die Idee, bei Peter ist es ja denke ich

\frac{2}{3} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot (- 5)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

10:21 Uhr, 07.01.2017

Ich habe keine Ahnung, wie Du auf

E (X)

kommst.
Richtig ist

E (X) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} (2 + 5)

Roman-22

11:13 Uhr, 07.01.2017

Abgesehen von dem Tippfehler bei

E (X)

(du hast beim mittleren Summanden ein

+

anstelle eines

⋆

getippt) machst du bei

E

den Fehler, dass du die Wahrscheinlichkeiten mit der Anzahl der Möglichkeiten (es gibt zB 4 Möglichkeiten eine "1" zu ziehen) multiplizierst und nicht, wie es richtig wäre, mit dem jeweiligen Wert

x

.
Richtig wäre daher, wie DrBoogie schon schrieb,

E (X) = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 5 = \frac{11}{6}

.
Bei der Varianz gehts dann überhaupt ziemlich durcheinander. Da ist dann vom Mittelwert oft gar nichts mehr zu sehen (deine Ausdrücke mit

\cdot (1 - 4))

.

Bei

b)

musst du erst für alle möglichen Fälle (wie viele gibts da?) die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnen.

>

bei Peter ist es ja denke ich 23⋅2+13⋅(-5)
Wenn du mit "es" den Erwartungswert meinst, dann sind wir uns einig
Für den Erwartungswert von Svens Variante musst du erst die die Wahrscheinlichkeiten für die drei möglichen Spielausgänge

G - G - G, G - G - R

und

G - R - R

berechnen.

wissenistmacht aktiv_icon

11:34 Uhr, 07.01.2017

Ok, danke. Das ist einleuchtend.

Wenn ich die Varianz berechne muss ich es dann so machen?

V (x) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{11}{6}

-19)²+

\frac{1}{6} \cdot (\frac{11}{6}

-2)²

+ \frac{1}{6} \cdot (\frac{11}{6}

-5)²

= \frac{77}{36}

σ = \sqrt{\frac{77}{36}} = 1,46

ist bei der

b)

der Erwartungswert

\frac{11}{3}

Roman-22

12:08 Uhr, 07.01.2017

Ja,

a)

ist jetzt OK und der Erwartungswert für

b)

ist auch richtig.

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12:24 Uhr, 07.01.2017

super, danke.
bei der

b)

hab ich für die Varianz

\frac{154}{45}

und für die Standardabweichung

1,85

raus. Ist das auch richtig?

Roman-22

12:29 Uhr, 07.01.2017

Ja, deine Ergebnisse für

b)

sind richtig.

Und zu deiner Kontrolle (und ohne Gewähr):

c) E (P e t e r) = - \frac{1}{3}

und

E (S v e n) = - 1

wissenistmacht aktiv_icon

12:33 Uhr, 07.01.2017

Bei Peter komm es ich auch auf

- \frac{1}{3},

bei Sven komme ich aber nicht auf

- 1

.
Muss ich bei Sven die unterschiedlichen Reihenfolgen einbeziehen, also ggr grg rgg?

wissenistmacht aktiv_icon

12:37 Uhr, 07.01.2017

ok mit Einbezug der Reihenfolge komme ich auch auf

- 1

vielen Dank für die Hilfe

Roman-22

12:40 Uhr, 07.01.2017

>

ok mit Einbezug der Reihenfolge
ohne würden sich deine drei Wahrscheinlichkeiten ja wohl auch kaum auf 1 summieren ;-)

Wenns keine Rückfragen mehr gibt, Thread bitte abhaken.

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21:00 Uhr, 07.01.2017

Noch eine letzte Frage, muss beim Ziehen mit einem Griff, die Reihenfolge überhaupt einbezogen werden?

Roman-22

22:35 Uhr, 07.01.2017

>

Noch eine letzte Frage, muss beim Ziehen mit einem Griff, die Reihenfolge überhaupt einbezogen werden?
Nicht unbedingt - solche Aufgaben lassen sich meist unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachten.

zB die WKT, 2 gelbe und 1 rote Kugel zu ziehen_

1)

Wie denken uns, dass wir hintereinander ziehen und addieren die WKTen für die drei Möglichkeiten:

P (R - G - G) = \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{5}

P (G - R - G) = \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{5}

P (G - G - R) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{5}

Und damit in Summe

\frac{3}{5}

2)Diesmal ohne Berücksichtigung einer Reihenfolge:
Anzahl der Möglichkeiten, 2 gelbe Kugeln aus den vier zu ziehen

\to (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})

Anzahl der Möglichkeiten, 1 rote Kugel aus den zwei zu ziehen

_> (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

Somit Anzahl der "günstigen" Fälle

\to (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 3 Kugeln aus 6 zu ziehen

\to (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})

Somit ist die gesuchte WKT

\frac{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})} = \frac{3}{5}

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