Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Stochastik - Hypothesentest Alternativtest

Stochastik - Hypothesentest Alternativtest

Schüler

Tags: alternativtest, Hypothesentest, Stochastik

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Pfannex

Pfannex aktiv_icon

15:54 Uhr, 19.06.2022

Antworten
Ich stelle diese Frage nochmal ein.
Ich hatte diese Frage schon an einen bereits geschlossenen Beitrag angehängt.
Daher weiß ich nicht ober dieser überhaupt gelesen wird. :-)

Aufgabe:
Eine Firma produziert PCs. Man weiß, dass 5% dieser PCs Mängel aufweisen.

Im zweiten Teil der Aufgabe wird davon ausgegangen, dass die Fertigung verbessert wurde und jetzt nur noch 3% Ausschuss produziert. Diese Behauptung soll mit einer Stichprobenprüfung von 100 Stück belegt werden.

Aufgabe:
- Entwickeln sie einen Hypothesentest auf dem 5% Signifikanzniveau
- Formulieren sie die Entscheidungsregel

Lösung:
Da hier beide Ereigniswahrscheinlichkeiten gegeben sind (p1=5%;p2=3%) würde hier doch ein Alternativtest zum tragen kommen, oder?

H1:-P)=p1
H2:-P)=p2

Signifikanztests kommen doch hier nicht zum tragen, oder?

Was mich jetzt verwirrt ist die fehlende Angabe für die Festlegung auf wie viele defekte Stücke geprüft werden soll. Erst dann kann ich doch den Versuch auch bewerten, oder?

Also meine Frage, was muss man hier eigentlich machen, bzw. was wird hier als Antwort erwartet?

Gruß
Pfannex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

19:07 Uhr, 19.06.2022

Antworten
Die Chance auf Fehlproduktion kleinergleich 5% ist hier Schnee von gestern

(bzw. gehört zum Aufgabenteil davor)

und zu testen ist schlicht die Chance auf Fehlproduktion kleinergleich 3%

(Ho:p0,03) zum Signifikanzniveau 5%,

wobei letzteres bedeutet, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten

der Ergebnisse des Ablehnbereichs von H0 nicht größer als 5% sein soll.


Wenn nun die Chance auf letale Fehler (für den PC) in der PC-Produktion kleinergleich 3% ist,

ist die Chance, dass von 100 Produkten mehr als 5 defekt sind höchstens ca. 8,08371%

(k=6100100!(100-k)!k!(3100)k(97100)100-k0,0808371)

und die Cance, dass von 100 Produkten mehr als 6 defekt sind höchstens ca. 3,12275%

(k=7100100!(100-k)!k!(3100)k(97100)100-k0,0312275).

Verwerfe also die Annahme, dass die Cance für Fehlproduktion kleinergleich 3% ist,

falls mehr als 6 von 100 PC defekt sind (Ab(H0)=[7;100]).


Im Anhang eine ähnliche Aufgabe (ebenfalls ein rechtsseitiger Hypothesentest).

Screenshot_20220619-184050_Gallery
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

19:37 Uhr, 19.06.2022

Antworten
Übrigens wären p10,05 und p20,03

keine sich gegenseitig ausschließenden Hypothesen,

was beim Alternativtest aber vorausgesetzt wird.

Denn ist die Chance auf Fehlproduktion kleinergleich 0,03,

ist sie auch kleinergleich 0,05.

Man kann es aber bei der Computerfirma natürlich gerne so halten,

dass man bei einem Ergebnis in Abp0,03 zu p0,05 zurückkehrt...
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

20:51 Uhr, 19.06.2022

Antworten
Man kann mit der Brechstange hingehen und

p1=0,03 und p2=0,05 (beide genau gleich !) formulieren.

Der oben verwendete rechtsseitige Hypothesentest käme dann,

zwar im Gewand des Alternativtests, aber dennoch genau so zur Anwendung.

Einzig würde man bei einem Ergebnis in Abp0,03 nicht auf p>0,03 ausweichen,

sondern auf genau p=0,05.

Raider heißt jetzt Twix, sonst ändert sich nix !

Screenshot_20220619-205719_Gallery
Pfannex

Pfannex aktiv_icon

22:58 Uhr, 19.06.2022

Antworten
Erstmal vielen Dank für die bisherige Unterstützung!

Ich fürchte aber ich steh noch auf dem Schlauch.
Vielleicht müssen wir noch einen Schritt weiter zurück gehen.

Was ist meine Aufgabe, was soll ich für einen Test entwickeln.
Ich habe es so verstanden:

Getestet werden soll mit 100 Versuchen ob die Fehlerrate jetzt wirklich 3% ist.
Verwendet wird hier scheinbar die Summe der Wahrscheinlichkeiten.

Deine Berechnung Basiert auf 1-Summe der Wahrscheinlichkeiten.
Also der Gegenwahrscheinlichkeit, kannst du hierzu noch was einfaches sagen?

(nk)pkqn-k

wie interpretiere ich jetzt die Berechneten Summen?

0_4,76%_95,24%
1_14,71%_80,54%
2_22,52%_58,02%
3_22,75%_35,28%
4_17,06%_18,21%
5_10,13%_8,08%
6_4,96%_3,12%
7_2,06%_1,06%
8_0,74%_0,32%
9_0,23%_0,09%
10_0,07%_0,02%
11_0,02%_0,00%
12_0,00%_0,00%
13_0,00%_0,00%
14_0,00%_0,00%
15_0,00%_0,00%








Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

00:50 Uhr, 20.06.2022

Antworten
100!(100-k)!k!(3100)k(97100)100-k

ist die Chance für genau k Fehlproduktionen

und z.B. k=7100 davor summiert diese Chancen für alle 7k100.

Das (Ablehn-)Intervall [7;100] ist zwar sehr groß aber trotzdem

weniger als 5% wahrscheinlich, weil die Wahrscheinlichkeitsglocke

ziemlich "linksgequetscht" ist, siehe Bild...

Umgekehrt ist das (Annahme-)Intervall [0,6], obgleich viel kleiner,

dennoch mehr als 95% wahrscheinlich

(k=06100!(100-k)!k!(3100)k(97100)100-k=1-k=7100100!(100-k)!k!(3100)k(97100)100-k)...

Screenshot_20220620-004521_Chrome
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

01:42 Uhr, 20.06.2022

Antworten
Ach ja, falls Du dieses Summensigma auch mal benutzen möchtest:

Schreib hier auf onlinemathe im Textmodus wie auch im Prompt

von Wolfram Alpha "sum_(k=a)^b" mit natürlichen Zahlen ab.

Das gibt dann k=ab. Dahinter dann den Term,

den Du summieren möchtest und den am besten komplett in Klammern.

Ein Beispiel mit einer Fantasieformel hängt an.

Berühmt ist z.B. auch der "kleine Gauß", k=1nk=n(n+1)2.

Das ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen...

Screenshot_20220620-012331_Chrome
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

02:42 Uhr, 20.06.2022

Antworten
Und hier mal vorbeischauen kann auch nicht schaden,

wobei dort vielleicht ein bisschen zu sehr gebombt wird.

Der Abschnitt "Definition" ist aber Mana...

de.m.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
Pfannex

Pfannex aktiv_icon

09:11 Uhr, 20.06.2022

Antworten
Vielen Dank für die weiteren ausführlichen Ausführungen!!

Ich versuche das mal für mich zusammenzufassen.

Der Hersteller gibt an, dass er die Ausschusswahrscheinlichkeit auf 3% reduziert hat.
Dies möchte er durch die Entnahme von 100 Proben mit einem Hypothesentest belegen.

Meine Aufgabe ist es jetzt diese Tests zu formulieren und zu erklären.
Als erstes stelle ich mir hierzu eine Gleichung auf, die mir die Wahrscheinlichkeit für die Fehlproduktion von genau k defekten Geräten.

n=100
p=3%
q=97%
(100k)0,03k0,97100-k

z.B. sagt:
(1005)0,0350,97100-5=0,101310,13%
Die Wahrscheinlichkeit bei 3% Fertigungsfehlern, bei 100 Proben, 5 defekte PCs zu finden liegt bei 10,13%.

Entscheidend ist jetzt das Ermitteln der Intervalle für Annahme und Ablehnung.
Hier würde ich mir jetzt die Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitssummen in den angegebenen Intervallen ansehen und bewerten. Um ein Gefühl zu bekommen welche Verteilung sich für welches Intervall ergibt muss ich die verschiedenen Intervallkombinationen einmal erfassen.

So ergibt die Intervallkombination:
Annahmeintervall [0-4]

k=04((100k)0,03k0,97100-k)=0,817981,79%

Ablehnintervall [5-100]

k=5100((100k)0,03k0,97100-k)=0,182118,21%

Bewertung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4 PCs defekt sind liegt bei 18,21% könnte sein
Die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 4 PCs defekt sind liegt bei 81,79% sehr Wahrscheinlich


Die Intervallkombination:
Annahmeintervall [0-6]

k=06((100k)0,03k0,97100-k)=0,968896,88%

Ablehnintervall [7-100]

k=7100((100k)0,03k0,97100-k)=0,031223,12%

Bewertung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 PCs defekt sind liegt bei 3,12% sehr unwahrscheinlich
Die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 6 PCs defekt sind liegt bei 96,88% sehr Wahrscheinlich

Die Intervallkombination:
Annahmeintervall [0-7]

k=07((100k)0,03k0,97100-k)=0,989498,94%

Ablehnintervall [8-100]

k=8100((100k)0,03k0,97100-k)=0,01061,06%

Bewertung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 7 PCs defekt sind liegt bei 1,06%
Die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 7 PCs defekt sind liegt bei 98,94%


Ist es also richtig, dass ich durch "probieren" mir die Intervallkombinationen ansehen muss um dann die richtige zu finden?
Da ich ja auf 3% Fehler prüfen möchte suche ich mir dann die Kombination wo die Wahrscheinlichkeit das mehr als k PCs defekt sind meiner Vorgabe von 3% am nächsten kommt?


Hilfreich wäre eine Erklärung für die Bewertung der Rechenergebnisse für mathematische Leichtgewichte... :-)


Gruß
Marco




Pfannex

Pfannex aktiv_icon

11:12 Uhr, 20.06.2022

Antworten
Ahhh.....

Das Signifikanzniveau hatte ganz vergessen.

Gesucht ist das k bzw. der Bereich bei dem die Summe der Wahrscheinlichkeiten 5% ist.

Daher suche ich (durch probieren) den Intervall bei dem die 5% noch unterschritten werden.


k=20100((100k)0,03k0,97100-k)=0,0%
k=10100((100k)0,03k0,97100-k)=0,0%
k=7100((100k)0,03k0,97100-k)=3,12%<- Treffer
k=6100((100k)0,03k0,97100-k)=8,08%
k=5100((100k)0,03k0,97100-k)=

Antwort:
Der Hypothesentest auf dem 5% Signifikanzniveau sollte damit geklärt sein.
Der lautet:
k=7100((100k)0,03k0,97100-k)=3,12%
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 Geräte defekt sind beträgt 3,12%.

Was ist gemeint wenn in der Frage steht:
- Formulieren sie die Entscheidungsregel?



Oder muss ich hier noch mit µ und σ arbeiten bzw. begründen?
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

00:04 Uhr, 21.06.2022

Antworten
Ich sehe, Du metzelst Dich da durch, gut.

Du scheinst aber wirklich gerade erst eingestiegen zu sein

und praktizierst "Learning by doing", hm...

Du brauchst Stoff, Futter zu diesem (Standard-)Thema.

Etwas eleganter wäre vielleicht, VOR der Aufgabe...

Ich hatte das übrigens an der Abendschule und wir

haben immer so Art Bastelanleitungen bekommen -

und Aufgaben natürlich. Die werden irgendwann dann

ziemlich langweilig, wenn der stochastische Rausch,

den Zufall in Flaschen abzufüllen, nachlässt...

Hier ein paar von diesen hochwissenschaftlichen Dokumenten,

hoffentlich schaden/verwirren sie nicht mehr als sie nutzen...

20220620_235407
20220620_235211
20220620_235259
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

00:36 Uhr, 21.06.2022

Antworten
Und diese noch.
Mit dabei Teile einer Aufgabe meiner Abiklausur.
Was man da sehen kann, ist halt, dass ich da
so ein Schema hatte, diese Aufgaben fertig zu machen.
Man hat die Eckdaten erfasst, kurz überlegt, ob
rechts- oder linksseitig und hat dann mit seinem
Formelsammelsorium und dem TR den Fall erledigt...

20220620_235245
Screenshot_20220621-001750_Gallery
Screenshot_20220621-001727_Gallery
Frage beantwortet
Pfannex

Pfannex aktiv_icon

16:44 Uhr, 23.06.2022

Antworten
Dann geh ich jetzt so mal in Rennen, vielen Dank für die Unterstützung!
Pfannex

Pfannex aktiv_icon

20:06 Uhr, 24.06.2022

Antworten
Moin ich bin mir immer noch unsicher wie genau die Fragen Fachgerecht zu beantworten sind.
Ich muss die Fragen als als mündliche Zusatzleistung vortragen.

Ich gebe nochmal die konkrete Aufgabenstellung.
Es wäre klasse wenn mir jemand die Musterlösung geben könnte.

-----------------------------------------------------------
FRAGE:
Eine Firma stellt PCs her, von denen erfahrungsgemäß 5% Mängel aufweisen.

Bestimmen Sie die Anzahl der PCs, die man mindestens überprüfen müsste,
um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 97% auf mindestens einen defekten
PC zu stoßen.

Der Hersteller behauptet, durch neue Technologie hat er die Ausschusswahrscheinlichkeit
auf nur noch 3% reduziert. Zur Überprüfung der Behauptung werden 100 PCs
überprüft.

Entwickeln Sie einen Hypothesentest auf dem 5% Signifikanzniveau.
Formulieren Sie die Entscheidungsregel.

-------------------------------------------------------------

Vielen Dank!
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

23:31 Uhr, 24.06.2022

Antworten
Teil 2 wurde mehr als beantwortet.

Zu Teil 1:

(95100)n ist die Chance, dass von n PCs keiner defekt ist.

Also ist 1-(95100)n die Chance, dass von n PCs wenigstens einer defekt ist

und zu bestimmen ist somit das n, sodass

1-(95100)n97100.

Rechnung:

1-(95100)n97100



(95100)n3100



eln(95100)n3100



ln(95100)nln(3100)



nln(3100)ln(95100)68,36289.


Es sind wenigstens 69 PCs zu überprüfen

(Test: 1-(95100)690,97096).


Auch das ist übrigens ein Standardfragentyp.
Das Gleiche in Grün mit Ü-Eiern ist z.B. die b) im Anhang.

Screenshot_20220624-232132_Gallery
Pfannex

Pfannex aktiv_icon

16:37 Uhr, 25.06.2022

Antworten
Cool, danke dir!
Ich würde das für mich hier nochmal versuchen zu beantworten und hier einstellen.

Ich würde mich freuen, wenn du als fachkundiger dass dann nochmal querlesen könntest.

Sonnigen Gruß
Marco
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

03:25 Uhr, 26.06.2022

Antworten
Sooo fachkundig bin ich da gar nicht...
Wie gesagt, ich hatte das im Mathe-GK an der Abendschule.
Es gab kein Buch und der Lehrer hat Nullinger erklärt.
Das waren also diese Handzettel, von denen ich hier
schon ein paar gezeigt habe und dann habe ich mir da
mit Wikipedia und Co. meinen Plan gemacht.
Übrigens lerne ich zufälligerweise gerade jetzt
seit ca. 1 Monat "echte" Stochastik (bin auf Seite 103, Kapitel 4)
und werde da wohl bald auch diesem ganzen Shit wiederbegegnen,
aber auf einem anderen (besseren) Level.
(Der Onkel im Anhang (also sein Geist über das Bild im Buch)
hat mir sogar schon die Gleichverteilung auf einer unendlichdimensionalen Kugel
mit unendlichem Radius gezeigt. Irgendwas an ihm sagt mir,
dass man ihn besser nicht zu verscheißern versucht...)

Screenshot_20220626-031737_Gallery
Screenshot_20220626-031656_Gallery
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

07:33 Uhr, 28.06.2022

Antworten
Ein paar Sachen noch, auch wenn es wahrscheinlich zu spät kommt:

Die von mir gegebene Entscheidungsregel zu der Abi-Klausur
(Band "Take Five") ist mangelhaft. Es gab zwar keinen
Punktabzug, aber man sieht eine Wellenlinie unter "belegt".
Vermeide jede Formulierung, die Richtung "der Test beweist"
oder ähnlich geht, denn beweisen tun diese Tests gar nichts,
man kann bloß dieses oder jenes mit dieser oder jenen
Sicherheit sagen.
Formuliere also die Entscheidungsregel straight forward
so wie ich es auch schon oben in meinem ersten Beitrag
getan habe (nur das da nicht "Enscheidungsregel" dabei stand),
siehe Anhang.

Die σ -Regel war bei uns nur Taschenrechnerbingo,
um die Wahrscheinlichkeitsbereiche grob einzuzäunen.
Dazu gabs Seitenweise kleingedruckte Tabellen -
vielleicht habt ihr die heute auch noch, vielleicht nicht...
Man hat dann in der Nähe mit der Verteilungsfunktion weitergesucht
bis es passte (sieht man alles in den angehängten Bildern)...


20220628_072332
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.