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Stochastik - Hypothesentest Alternativtest

Schüler

Tags: alternativtest, Hypothesentest, Stochastik

Pfannex aktiv_icon

15:54 Uhr, 19.06.2022

Ich stelle diese Frage nochmal ein.
Ich hatte diese Frage schon an einen bereits geschlossenen Beitrag angehängt.
Daher weiß ich nicht ober dieser überhaupt gelesen wird. :-)

Aufgabe:
Eine Firma produziert PCs. Man weiß, dass

5 %

dieser PCs Mängel aufweisen.

Im zweiten Teil der Aufgabe wird davon ausgegangen, dass die Fertigung verbessert wurde und jetzt nur noch

3 %

Ausschuss produziert. Diese Behauptung soll mit einer Stichprobenprüfung von

100

Stück belegt werden.

Aufgabe:
- Entwickeln sie einen Hypothesentest auf dem

5 %

Signifikanzniveau
- Formulieren sie die Entscheidungsregel

Lösung:
Da hier beide Ereigniswahrscheinlichkeiten gegeben sind

(p 1 = 5 %; p 2 = 3 %)

würde hier doch ein Alternativtest zum tragen kommen, oder?

H1:-P)=p1
H2:-P)=p2

Signifikanztests kommen doch hier nicht zum tragen, oder?

Was mich jetzt verwirrt ist die fehlende Angabe für die Festlegung auf wie viele defekte Stücke geprüft werden soll. Erst dann kann ich doch den Versuch auch bewerten, oder?

Also meine Frage, was muss man hier eigentlich machen, bzw. was wird hier als Antwort erwartet?

Gruß
Pfannex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hypothesentest

Kartoffelchipsman aktiv_icon

19:07 Uhr, 19.06.2022

Die Chance auf Fehlproduktion kleinergleich

5 %

ist hier Schnee von gestern

(bzw. gehört zum Aufgabenteil davor)

und zu testen ist schlicht die Chance auf Fehlproduktion kleinergleich

3 %

(H_{o} : p \leq 0,03)

zum Signifikanzniveau

5 %,

wobei letzteres bedeutet, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten

der Ergebnisse des Ablehnbereichs von

H_{0}

nicht größer als

5 %

sein soll.

Wenn nun die Chance auf letale Fehler (für den PC) in der PC-Produktion kleinergleich

3 %

ist,

ist die Chance, dass von

100

Produkten mehr als 5 defekt sind höchstens ca.

8,08371 %

(\sum_{k = 6}^{100} \frac{100!}{(100 - k)! \cdot k!} \cdot {(\frac{3}{100})}^{k} \cdot {(\frac{97}{100})}^{100 - k} \approx 0,0808371)

und die Cance, dass von

100

Produkten mehr als 6 defekt sind höchstens ca.

3,12275 %

(\sum_{k = 7}^{100} \frac{100!}{(100 - k)! \cdot k!} \cdot {(\frac{3}{100})}^{k} \cdot {(\frac{97}{100})}^{100 - k} \approx 0,0312275)

.

Verwerfe also die Annahme, dass die Cance für Fehlproduktion kleinergleich

3 %

ist,

falls mehr als 6 von

100

PC defekt sind

(A b (H_{0}) = [7; 100])

.

Im Anhang eine ähnliche Aufgabe (ebenfalls ein rechtsseitiger Hypothesentest).

Kartoffelchipsman aktiv_icon

19:37 Uhr, 19.06.2022

Übrigens wären

p_{1} \leq 0,05

und

p_{2} \leq 0,03

keine sich gegenseitig ausschließenden Hypothesen,

was beim Alternativtest aber vorausgesetzt wird.

Denn ist die Chance auf Fehlproduktion kleinergleich

0,03,

ist sie auch kleinergleich

0,05

.

Man kann es aber bei der Computerfirma natürlich gerne so halten,

dass man bei einem Ergebnis in

A b_{p \leq 0,03}

p \leq 0,05

zurückkehrt...

Kartoffelchipsman aktiv_icon

20:51 Uhr, 19.06.2022

Man kann mit der Brechstange hingehen und

p_{1} = 0,03

und

p_{2} = 0,05

(beide genau gleich

!)

formulieren.

Der oben verwendete rechtsseitige Hypothesentest käme dann,

zwar im Gewand des Alternativtests, aber dennoch genau so zur Anwendung.

Einzig würde man bei einem Ergebnis in

A b_{p \leq 0,03}

nicht auf

p > 0,03

ausweichen,

sondern auf genau

p = 0,05

.

Raider heißt jetzt Twix, sonst ändert sich nix !

Pfannex aktiv_icon

22:58 Uhr, 19.06.2022

Erstmal vielen Dank für die bisherige Unterstützung!

Ich fürchte aber ich steh noch auf dem Schlauch.
Vielleicht müssen wir noch einen Schritt weiter zurück gehen.

Was ist meine Aufgabe, was soll ich für einen Test entwickeln.
Ich habe es so verstanden:

Getestet werden soll mit

100

Versuchen ob die Fehlerrate jetzt wirklich

\leq 3 %

ist.
Verwendet wird hier scheinbar die Summe der Wahrscheinlichkeiten.

Deine Berechnung Basiert auf 1-Summe der Wahrscheinlichkeiten.
Also der Gegenwahrscheinlichkeit, kannst du hierzu noch was einfaches sagen?

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}

wie interpretiere ich jetzt die Berechneten Summen?

0_{_} 4,76 %_{_} 95,24 %

1_{_} 14,71 %_{_} 80,54 %

2_{_} 22,52 %_{_} 58,02 %

3_{_} 22,75 %_{_} 35,28 %

4_{_} 17,06 %_{_} 18,21 %

5_{_} 10,13 %_{_} 8,08 %

6_{_} 4,96 %_{_} 3,12 %

7_{_} 2,06 %_{_} 1,06 %

8_{_} 0,74 %_{_} 0,32 %

9_{_} 0,23 %_{_} 0,09 %

10_{_} 0,07 %_{_} 0,02 %

11_{_} 0,02 %_{_} 0,00 %

12_{_} 0,00 %_{_} 0,00 %

13_{_} 0,00 %_{_} 0,00 %

14_{_} 0,00 %_{_} 0,00 %

15_{_} 0,00 %_{_} 0,00 %

Kartoffelchipsman aktiv_icon

00:50 Uhr, 20.06.2022

\frac{100!}{(100 - k)! \cdot k!} \cdot {(\frac{3}{100})}^{k} \cdot {(\frac{97}{100})}^{100 - k}

ist die Chance für genau

k

Fehlproduktionen

und

z . B

\sum_{k = 7}^{100}

davor summiert diese Chancen für alle

7 \leq k \leq 100

.

Das (Ablehn-)Intervall

[7; 100]

ist zwar sehr groß aber trotzdem

weniger als

5 %

wahrscheinlich, weil die Wahrscheinlichkeitsglocke

ziemlich "linksgequetscht" ist, siehe Bild...

Umgekehrt ist das (Annahme-)Intervall

[0,6],

obgleich viel kleiner,

dennoch mehr als

95 %

wahrscheinlich

(\sum_{k = 0}^{6} \frac{100!}{(100 - k)! \cdot k!} \cdot {(\frac{3}{100})}^{k} \cdot {(\frac{97}{100})}^{100 - k} = 1 - \sum_{k = 7}^{100} \frac{100!}{(100 - k)! \cdot k!} \cdot {(\frac{3}{100})}^{k} \cdot {(\frac{97}{100})}^{100 - k}) . .

Kartoffelchipsman aktiv_icon

01:42 Uhr, 20.06.2022

Ach ja, falls Du dieses Summensigma auch mal benutzen möchtest:

Schreib hier auf onlinemathe im Textmodus wie auch im Prompt

von Wolfram Alpha "sum_(k=a)^b" mit natürlichen Zahlen

a \leq b

.

Das gibt dann

\sum_{k = a}^{b}

. Dahinter dann den Term,

den Du summieren möchtest und den am besten komplett in Klammern.

Ein Beispiel mit einer Fantasieformel hängt an.

Berühmt ist

z . B

. auch der "kleine Gauß",

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

.

Das ist die Summe der ersten

n

natürlichen Zahlen...

Kartoffelchipsman aktiv_icon

02:42 Uhr, 20.06.2022

Und hier mal vorbeischauen kann auch nicht schaden,

wobei dort vielleicht ein bisschen zu sehr gebombt wird.

Der Abschnitt "Definition" ist aber Mana...

de.m.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung

Pfannex aktiv_icon

09:11 Uhr, 20.06.2022

Vielen Dank für die weiteren ausführlichen Ausführungen!!

Ich versuche das mal für mich zusammenzufassen.

Der Hersteller gibt an, dass er die Ausschusswahrscheinlichkeit auf

3 %

reduziert hat.
Dies möchte er durch die Entnahme von

100

Proben mit einem Hypothesentest belegen.

Meine Aufgabe ist es jetzt diese Tests zu formulieren und zu erklären.
Als erstes stelle ich mir hierzu eine Gleichung auf, die mir die Wahrscheinlichkeit für die Fehlproduktion von genau

k

defekten Geräten.

n = 100

p = 3 %

q = 97 %

(\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}

z . B

. sagt:

(\begin{matrix} 100 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0,03}^{5} \cdot {0,97}^{100 - 5} = 0,1013 \to 10,13 %

Die Wahrscheinlichkeit bei

3 %

Fertigungsfehlern, bei

100

Proben, 5 defekte PCs zu finden liegt bei

10,13 %

.

Entscheidend ist jetzt das Ermitteln der Intervalle für Annahme und Ablehnung.
Hier würde ich mir jetzt die Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitssummen in den angegebenen Intervallen ansehen und bewerten. Um ein Gefühl zu bekommen welche Verteilung sich für welches Intervall ergibt muss ich die verschiedenen Intervallkombinationen einmal erfassen.

So ergibt die Intervallkombination:
Annahmeintervall

[0 - 4]

\sum_{k = 0}^{4} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) = 0,8179 \to 81,79 %

Ablehnintervall

[5 - 100]

\sum_{k = 5}^{100} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) = 0,1821 \to 18,21 %

Bewertung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4 PCs defekt sind liegt bei

18,21 % \to

könnte sein
Die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 4 PCs defekt sind liegt bei

81,79 % \to

sehr Wahrscheinlich

Die Intervallkombination:
Annahmeintervall

[0 - 6]

\sum_{k = 0}^{6} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) = 0,9688 \to 96,88 %

Ablehnintervall

[7 - 100]

\sum_{k = 7}^{100} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) = 0,03122 \to 3,12 %

Bewertung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 PCs defekt sind liegt bei

3,12 % \to

sehr unwahrscheinlich
Die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 6 PCs defekt sind liegt bei

96,88 % \to

sehr Wahrscheinlich

Die Intervallkombination:
Annahmeintervall

[0 - 7]

\sum_{k = 0}^{7} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) = 0,9894 \to 98,94 %

Ablehnintervall

[8 - 100]

\sum_{k = 8}^{100} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) = 0,0106 \to 1,06 %

Bewertung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 7 PCs defekt sind liegt bei

1,06 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 7 PCs defekt sind liegt bei

98,94 %

Ist es also richtig, dass ich durch "probieren" mir die Intervallkombinationen ansehen muss um dann die richtige zu finden?
Da ich ja auf

3 %

Fehler prüfen möchte suche ich mir dann die Kombination wo die Wahrscheinlichkeit das mehr als

k

PCs defekt sind meiner Vorgabe von

3 %

am nächsten kommt?

Hilfreich wäre eine Erklärung für die Bewertung der Rechenergebnisse für mathematische Leichtgewichte... :-)

Gruß
Marco

Pfannex aktiv_icon

11:12 Uhr, 20.06.2022

Ahhh.....

Das Signifikanzniveau hatte ganz vergessen.

Gesucht ist das

k

bzw. der Bereich bei dem die Summe der Wahrscheinlichkeiten

\leq 5 %

ist.

Daher suche ich (durch probieren) den Intervall bei dem die

5 %

noch unterschritten werden.

\sum_{k = 20}^{100} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) = 0,0 %

\sum_{k = 10}^{100} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) = 0,0 %

\sum_{k = 7}^{100} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) = 3,12 % < -

Treffer

\sum_{k = 6}^{100} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) = 8,08 %

\sum_{k = 5}^{100} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) =

Antwort:
Der Hypothesentest auf dem

5 %

Signifikanzniveau sollte damit geklärt sein.
Der lautet:

\sum_{k = 7}^{100} ((\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,03}^{k} \cdot {0,97}^{100 - k}) = 3,12 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 6 Geräte defekt sind beträgt

3,12 %

.

Was ist gemeint wenn in der Frage steht:
- Formulieren sie die Entscheidungsregel?

Oder muss ich hier noch mit µ und

σ

arbeiten bzw. begründen?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

00:04 Uhr, 21.06.2022

Ich sehe, Du metzelst Dich da durch, gut.

Du scheinst aber wirklich gerade erst eingestiegen zu sein

und praktizierst "Learning by doing", hm...

Du brauchst Stoff, Futter zu diesem (Standard-)Thema.

Etwas eleganter wäre vielleicht, VOR der Aufgabe...

Ich hatte das übrigens an der Abendschule und wir

haben immer so Art Bastelanleitungen bekommen -

und Aufgaben natürlich. Die werden irgendwann dann

ziemlich langweilig, wenn der stochastische Rausch,

den Zufall in Flaschen abzufüllen, nachlässt...

Hier ein paar von diesen hochwissenschaftlichen Dokumenten,

hoffentlich schaden/verwirren sie nicht mehr als sie nutzen...

Kartoffelchipsman aktiv_icon

00:36 Uhr, 21.06.2022

Und diese noch.
Mit dabei Teile einer Aufgabe meiner Abiklausur.
Was man da sehen kann, ist halt, dass ich da
so ein Schema hatte, diese Aufgaben fertig zu machen.
Man hat die Eckdaten erfasst, kurz überlegt, ob
rechts- oder linksseitig und hat dann mit seinem
Formelsammelsorium und dem TR den Fall erledigt...

Pfannex aktiv_icon

16:44 Uhr, 23.06.2022

Dann geh ich jetzt so mal in Rennen, vielen Dank für die Unterstützung!

Pfannex aktiv_icon

20:06 Uhr, 24.06.2022

Moin ich bin mir immer noch unsicher wie genau die Fragen Fachgerecht zu beantworten sind.
Ich muss die Fragen als als mündliche Zusatzleistung vortragen.

Ich gebe nochmal die konkrete Aufgabenstellung.
Es wäre klasse wenn mir jemand die Musterlösung geben könnte.

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FRAGE:
Eine Firma stellt PCs her, von denen erfahrungsgemäß

5 %

Mängel aufweisen.

Bestimmen Sie die Anzahl der PCs, die man mindestens überprüfen müsste,
um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens

97 %

auf mindestens einen defekten
PC zu stoßen.

Der Hersteller behauptet, durch neue Technologie hat er die Ausschusswahrscheinlichkeit
auf nur noch

3 %

reduziert. Zur Überprüfung der Behauptung werden

100

PCs
überprüft.

Entwickeln Sie einen Hypothesentest auf dem

5 %

Signifikanzniveau.
Formulieren Sie die Entscheidungsregel.

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Vielen Dank!

Kartoffelchipsman aktiv_icon

23:31 Uhr, 24.06.2022

Teil 2 wurde mehr als beantwortet.

Zu Teil 1:

{(\frac{95}{100})}^{n}

ist die Chance, dass von

n

PCs keiner defekt ist.

Also ist

1 - {(\frac{95}{100})}^{n}

die Chance, dass von

n

PCs wenigstens einer defekt ist

und zu bestimmen ist somit das

n,

sodass

1 - {(\frac{95}{100})}^{n} \geq \frac{97}{100}

.

Rechnung:

1 - {(\frac{95}{100})}^{n} \geq \frac{97}{100}

\Leftrightarrow

{(\frac{95}{100})}^{n} \leq \frac{3}{100}

\Leftrightarrow

e^{ln (\frac{95}{100}) \cdot n} \leq \frac{3}{100}

\Leftrightarrow

ln (\frac{95}{100}) \cdot n \leq ln (\frac{3}{100})

\Leftrightarrow

n \geq \frac{ln (\frac{3}{100})}{ln (\frac{95}{100})} \approx 68,36289

.

Es sind wenigstens

69

PCs zu überprüfen

(Test:

1 - {(\frac{95}{100})}^{69} \approx 0,97096)

.

Auch das ist übrigens ein Standardfragentyp.
Das Gleiche in Grün mit Ü-Eiern ist

z . B

. die

b)

im Anhang.

Pfannex aktiv_icon

16:37 Uhr, 25.06.2022

Cool, danke dir!
Ich würde das für mich hier nochmal versuchen zu beantworten und hier einstellen.

Ich würde mich freuen, wenn du als fachkundiger dass dann nochmal querlesen könntest.

Sonnigen Gruß
Marco

Kartoffelchipsman aktiv_icon

03:25 Uhr, 26.06.2022

Sooo fachkundig bin ich da gar nicht...
Wie gesagt, ich hatte das im Mathe-GK an der Abendschule.
Es gab kein Buch und der Lehrer hat Nullinger erklärt.
Das waren also diese Handzettel, von denen ich hier
schon ein paar gezeigt habe und dann habe ich mir da
mit Wikipedia und Co. meinen Plan gemacht.
Übrigens lerne ich zufälligerweise gerade jetzt
seit ca. 1 Monat "echte" Stochastik (bin auf Seite

103,

Kapitel

4)

und werde da wohl bald auch diesem ganzen Shit wiederbegegnen,
aber auf einem anderen (besseren) Level.
(Der Onkel im Anhang (also sein Geist über das Bild im Buch)
hat mir sogar schon die Gleichverteilung auf einer unendlichdimensionalen Kugel
mit unendlichem Radius gezeigt. Irgendwas an ihm sagt mir,
dass man ihn besser nicht zu verscheißern versucht...)

Kartoffelchipsman aktiv_icon

07:33 Uhr, 28.06.2022

Ein paar Sachen noch, auch wenn es wahrscheinlich zu spät kommt:

Die von mir gegebene Entscheidungsregel zu der Abi-Klausur
(Band "Take Five") ist mangelhaft. Es gab zwar keinen
Punktabzug, aber man sieht eine Wellenlinie unter "belegt".
Vermeide jede Formulierung, die Richtung "der Test beweist"
oder ähnlich geht, denn beweisen tun diese Tests gar nichts,
man kann bloß dieses oder jenes mit dieser oder jenen
Sicherheit sagen.
Formuliere also die Entscheidungsregel straight forward
so wie ich es auch schon oben in meinem ersten Beitrag
getan habe (nur das da nicht "Enscheidungsregel" dabei stand),
siehe Anhang.

Die

σ

-Regel war bei uns nur Taschenrechnerbingo,
um die Wahrscheinlichkeitsbereiche grob einzuzäunen.
Dazu gabs Seitenweise kleingedruckte Tabellen -
vielleicht habt ihr die heute auch noch, vielleicht nicht...
Man hat dann in der Nähe mit der Verteilungsfunktion weitergesucht
bis es passte (sieht man alles in den angehängten Bildern)...

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