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Stochastik - Skatspiel

Universität / Fachhochschule

Tags: Stochastik, Wahrscheinlichkeit

Maxime aktiv_icon

18:00 Uhr, 21.02.2016

Hi,

und zwar hätte ich eine Frage bezüglich der Berechnung einer Aufgabe. Die Lösung habe ich bereits, aber mit meiner Rechnung komme ich nicht darauf.

Es geht um ein Skatspiel mit 4 Farben je 8 Karten, also insgesamt

32

Karten, die jeweils 4 gleiche Karten beinhalten. Es gibt 3 Spieler (Spieler

A, B

und

C)

und jedes der Spieler bekommt

10

Karten. 2 Karten liegen im Skat.

Ich soll die Wahrscheinlichkeit für: Spieler

C

hat genau einen Buben (Bild,

b))

und Spieler

B

hat genau 3 Buben (Bild,

c))

berechnen.

Da ich bei beidem in derselben Art und Weise rechne, mache ich es exemplarisch für

b)

. Meine Rechnung lautet dazu nämlich:

P(Spieler

C . = 1

Bube)

= [(\frac{28}{32}) \cdot (\frac{27}{31}) \cdot (\frac{26}{30}) \cdot (\frac{25}{29}) \cdot (\frac{24}{28}) \cdot (\frac{23}{27}) \cdot (\frac{22}{26}) \cdot (\frac{21}{25}) \cdot (\frac{20}{24}) \cdot (\frac{4}{23})] = 0,04283

was jedoch um eine 10er-Potenz falsch sein soll.

Für die

c)

habe ich hingegen genauso gerechnet, mit dem Unterschied, dass Spieler "7 Mal keinen Buben gezogen" und 3 mal einen Buben gezogen hat. Das wurde dann anschließend mit 3 multipliziert, weil es 3 Spieler gibt. Da kam ich jedoch auf den Wert;

0,001835

.

Meine Frage ist also, was ich bei meiner Rechnung die ganze Zeit falsch mache.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

abakus

18:25 Uhr, 21.02.2016

Hallo,
du hast den Term aufgeschrieben für das Ereignis "Die ersten 9 Karten dieses Spielers sind kein Bube und die zehnte Karte ist ein Bube."
Genau einen Buben bekommt man auch, wenn der Bube an 1., 2. ,..., 9. Stelle kommt.

Maxime aktiv_icon

19:11 Uhr, 21.02.2016

Danke,

das klärt so einiges.

Dann muss ich bei der zweiten Rechnung wahrscheinlich genau so vorgehen. Wie müsste aber dann meine Rechnung aussehen? Mein Ansatz war:

P (1

. Spieler

= 3

Buben)

= [(\frac{28}{32}) \cdot (\frac{27}{31}) \cdot (\frac{26}{30}) \cdot (\frac{25}{29}) \cdot (\frac{24}{28}) \cdot (\frac{23}{27}) \cdot (\frac{22}{26}) \cdot (\frac{4}{25}) \cdot (\frac{3}{24}) \cdot (\frac{2}{23})] \cdot 3 = 0,0018353726

was ungefähr

120

mal kleiner ist als das Ergebnis mit

0,2202

.

Ich müsste ja die Möglichkeiten wie 1 mal Bube, 7 mal kein Bube, 2 mal Bube

[...]

abzählen.

Roman-22

19:38 Uhr, 21.02.2016

Du hast vermutlich die Fragestellung bei

c)

nicht originalgetreu wiedergegeben.
Das, was hier als Lösung vorliegt, ist die WKT dafür, dass irgend einer der drei Spieler genau drei Buben auf der Hand hat. Daher die Multiplikation mit 3.

>

Ich müsste ja die Möglichkeiten wie 1 mal Bube, 7 mal kein Bube, 2 mal Bube

[...]

abzählen.
Und damit dann noch dein Ergebnis multiplizieren - genau so ist es.
Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, die drei Buben in den

10

Karten zu platzieren. Oder anders gefragt: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den

10

Plätzen 3 auszuwählen?

R

Maxime aktiv_icon

19:51 Uhr, 21.02.2016

Genau darauf bezieht sich ja meine letzte Frage. Wie komme ich auf die Anzahl der Möglichkeiten? Rein rechnerisch (sofern bei meiner Rechnung alles stimmt und nur die Möglichkeiten fehlen), gibt es

120

Möglichkeiten. Ich kann ja nicht rumhocken und die ganzen

120

Möglichkeiten irgendwie zusammendenken/aufzeichnen/herleiten.

Roman-22

20:04 Uhr, 21.02.2016

120

stimmt.
Das ist ein Frage aus dem Kapitel Kombinatorik, das zugehörige Schlagwort heißt "Kombinationen" und es geht um den Binomialkoeffizienten.
Ich kenne leider deine Vorkenntnisse zu diesen Themen nicht. Was sagt dir zB die Schreibweise

(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})

?

Die komplette Musterlösung, die du gepostet hast, beruht auf einem kombinatorischen Ansatz. Hier wird bei

a)

etwa die Anzahl der Möglichkeiten für ein 10er Blatt mit genau einem Buben durch die Anzahl der Möglichkeiten, aus den

32

Karten irgendwelche

10

Karten zu wählen, dividiert.

R

abakus

20:04 Uhr, 21.02.2016

Hallo,
3 von 10 Karten sollen Buben sein.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei von 10 möglichen Positionen auszuwählen, an denen die gezogene Karte ein Bube ist?
Du kannst sie aufzählen:
1 2 3
1 2 4
1 2 5
...
1 2 10

1 3 4
1 3 5
...
1 3 10

(jetzt alle, die mit 1 4 ... beginnen)
(jetzt alle, die mit 1 5 ... beginnen)
...
(jetzt alle, die mit 1 9 ... beginnen)

dann alle, die mit 2 3 ... beginnen
...
ODER
du überlegst dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, 3 aus 10 (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) auszuwählen. (Es sind 10 über 3 = 120)

Maxime aktiv_icon

03:03 Uhr, 22.02.2016

Ich habe das gerade im Skript gefunden (siehe Bild). Das klärt dann alles. Ich bedanke mich bei euch beiden vielmals.

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