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Stochastik: Vorteil des Erstbeginnenden Spielers

Schüler Abendgymnasium,

Tags: Stochastik

Frika aktiv_icon

16:02 Uhr, 05.05.2014

Liebes Board,

Ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht verstehe:

"Zwei Personen würfeln. Gewonnen hat der, der als erster eine 6 würfelt.

(p = \frac{1}{6})

Wie hoch ist die Gewinnchance für den zweitbeginnenden Spieler?"

Lösung:

\frac{5}{6} \cdot

(Gewinnchancen des ersten Spielers)

Frage:
Warum ist das so?
Warum

\frac{5}{6}

?

Ich habe lange darüber gegrübelt, komme aber nicht darauf. Für Erklärungen wäre ich sehr dankbar.

Gruß
Frika

DrBoogie aktiv_icon

16:19 Uhr, 05.05.2014

Nun, Du musst alle mögliche Spielszenarien aufschreiben oder zumindest sie irgendwie umschreiben und dann auch deren W-keiten berechnen.
Ich kann z.B. folgende Notation anbieten:

A (n) = 6

bedeutet, dass der Spieler

A

(der 1. Spieler) in seinem n-ten Zug eine

6

gewürfelt hat (womit das Spiel zu Ende ist). Entsprechend

B (n) = 6

für den 2. Spieler. Und

A (n) \neq 6

für das Ereignis "A hat keine

6

im n-ten Zug gewürfelt", entsprechend

B (n) \neq 6

.
So, und betrachte jetzt das Spielszenario

A

hat im n-ten Zug gewonnen.
Das ist das Spielszenario

A (1) \neq 6, B (1) \neq 6, A (2) \neq 6, . . ., A (n) = 6

.
Die W-keit davon ist

P (A (1) \neq 6) \cdot P (B (1) \neq 6) \cdot . . . P (A (n) = 6) = \frac{5^{2 n - 2}}{6^{2 n - 1}}

,
weil

P (A (i) \neq 6) = 5 / 6

und

P (A (i) = 6) = 1 / 6

ist (entsprechend für

B

).
Für das Spielszenario, dass

B

in seinem n-ten Zug gewinnt, also für

A (1) \neq 6, B (1) \neq 6, A (2) \neq 6, . . ., A (n) \neq 6, B (n) = 6

haben die W-keit

P (A (1) \neq 6) \cdot P (B (1) \neq 6) \cdot . . . P (A (n) \neq 6) \cdot P (B (n) = 6) = \frac{5^{2 n - 1}}{6^{2 n}}

.

Gut, jetzt ist die W-keit, dass

A

gewinnt = Summe über alle

n

von W-keiten, dass

A

in n-ten Zug gewinnt:

P (A

gewinnt

) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5^{2 n - 2}}{6^{2 n - 1}}

.
Entsprechend

P (B

gewinnt

) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5^{2 n - 1}}{6^{2 n - 2}} = \frac{5}{6} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5^{2 n - 2}}{6^{2 n - 1}}

.
Damit ist

P (B

gewinnt

) = \frac{5}{6} P (A

gewinnt

)

.

Aber bestimmt geht es auch einfacher. :-)

Bummerang

16:36 Uhr, 05.05.2014

Hallo,

"Aber bestimmt geht es auch einfacher. :-)"

Klar, geht es! Ein Würfel ist ein zwar faires, aber dummes Ding ohne Gedächtnis. In jeder einzelnen Runde gilt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür in allen vorherigen Runden keine 6 gewürfelt zu haben, für beide Spieler gleich groß ist:

P_{1} (n

mal keine

6) = P_{2} (n

mal keine

6)

Dann kommt es zur nächsten Runde, die der erste mit

\frac{1}{6}

gewinnt und nur im Falle, dass der erste jetzt keine 6 gewürfelt hat, also in

\frac{5}{6}

der Fälle, bekommt der zweite seine

\frac{1}{6}

Chance auf die 6

P_{1} (6

im n+1-ten Versuch

| n

mal keine

6) = \frac{1}{6} \cdot P_{1} (n

mal keine

6);

unabhängige Ereigniesse

P_{2} (6

im n+1-ten Versuch

| n

mal keine

6) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot P_{2} (n

mal keine

6)

= \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot P_{1} (n

mal keine

6)

= \frac{5}{6} \cdot P_{1} (6

im n+1-ten Versuch

| n

mal keine

6)

Und dass die Ereignisse unabhängig sind, liegt am fehlenden Gedächtnis des Würfels...

Frika aktiv_icon

20:41 Uhr, 09.05.2014

@Bummerang

Jetzt, wo du es so schön erklärt hast, ist es für mich vollkomen klar.
Vielen dank dafür!

Frika

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