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Stochastik mit unbegrenzt vielen Versuchen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Stochastik, unendlich

robbn aktiv_icon

19:48 Uhr, 29.04.2009

Ich wollte heute jemandem bei einer Aufgabe Helfen, bei der ich dann selber verzweifelt bin:

a)

Es geht um ein Spiel, bei dem zwei Spieler

(A

und

B)

immer abwechselnd Würfeln (Zahlen von

1 - 6)

.
Also Zuerst A dann

B

dann A usw...
Wer zuerst eine 6 würfelt, hat gewonnen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A bzw.B gewinnt.

b)

Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, wenn A zuerst einmal würfelt, dann

B

zweimal, dann A dreimal, usw...

Mein Ansatz zu

a) :

Ich schätze, dass beide Spieler ungefähr (oder genau?) eine Chance von

50 %

haben.
Man könnte nun jeweils die Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte Anzahl von Runden berechnen, was nicht weiter schwierig wäre..

Vielleicht könnte man auch eine Regelmäßigkeit feststellen: Wenn man immer weiter rechnet, gehen die Gewinnchancen soweit ich weiß gegen

0.5

und die Chance, dass gar keiner Gewinnt, gegen 0 (Die Chance besteht ja eigentlich gar nicht, aber irgendwo muss man ja mal aufhören...)
Das Problem ist jetzt, dass es ja rein theoretisch unendlich viele Versuche geben kann, ohne dass je ein Spieler eine 6 würfelt.
An diesem Punkt kam ich dann nicht weiter.. Oder muss man ganz anders an die Aufgabe heran gehen?

Vielen Dank im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

reilly aktiv_icon

12:16 Uhr, 30.04.2009

Hallo,

A gewinnt, wenn er vor

B

eine 6 wuerfelt. Da alle Wuerfe unabhaengig voneinander sind, kann man das Experiment auch in zwei Stufen durchfuehren:

1 .) A

wuerfelt, bis er eine 6 gewuerfelt hat.

2 .)

Danach wuerfelt B. Sollte er gleich viele (da A ja anfaengt und daher etwas im Vorteil ist) oder sogar mehr Versuche brauchen, um eine 6 zu wuerfeln, hat er verloren.

P (A

braucht genau

n

Wuerfe, um eine 6 zu werfen)

= {(\frac{5}{6})}^{n - 1} \cdot \frac{1}{6}

P (B

braucht mindestens

n

Wuerfe, um eine 6 zu werfen)

= P (B

wirft

n - 1

Wuerfe lang nur 1 bis

5) = {(\frac{5}{6})}^{n - 1}

P (A

gewinnt)

= \sum_{n = 1}^{\infty} P (A

hat die erste 6 nach

n

Wuerfen)

\cdot P (B

braucht mehr als

n

Wuerfe)

= \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{5}{6})}^{n - 1} \cdot \frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{n - 1}

= \frac{1}{6} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{5}{6})}^{2 (n - 1)}

= \frac{1}{6} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{25}{36})}^{n - 1}

= \frac{1}{6} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{25}{36})}^{n}

Die Summe auf der rechten Seite heisst (unendliche) geometrische Reihe (siehe Wikipedia). Fuer geometrische Reihen weiss man, dass

s_{k} = \sum_{n = 0}^{k} q^{n} = \frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q}

.

Wir suchen nun also

\frac{1}{6} \cdot s_{\infty}

mit

q = (\frac{25}{36})

\frac{1}{6} \cdot s_{\infty} = lim_{k \to \infty} \frac{1}{6} \cdot \frac{1 - {(\frac{25}{36})}^{k + 1}}{1 - \frac{25}{36}}

= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{11}{36}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{11} = \frac{6}{11}

Also hat Spieler A eine etwas hoehere Wkeit zu gewinnen. Und das muss auch so sein, denn A faengt an und kann daher schon gewinnen, bevor

B

ueberhaupt zum Zug gekommen ist. Beachte: wuerde

B

anfangen, haette

B

eine Wkeit von

\frac{6}{11}

zu gewinnen. Wuerde man am Anfang eine faire Muenze werfen, um zu entscheiden, wer anfaengt, wuerden sich die beiden Varianten ausgleichen und die Wkeit zu gewinnen waere

\frac{1}{2}

.

Gruesse,
reilly

robbn aktiv_icon

17:04 Uhr, 30.04.2009

Vielen Dank, hast mir sehr geholfen!

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